Matematyka.pl

Hej, mam pytanko.

Czy jeśli działanie nie jest wewnętrzne to czy może być łączne i przemienne? Czy jeśli nie jest wewnętrzne to z automatu nie jest łączne ani przemienne?

Łączne być nie może, bo sformułowanie warunku na łączność wymaga, żeby było wewnętrzne. Co do przemienności, to zależy jak dokładnie rozumiemy przemienność. Większość osób raczej rezerwuje ten termin dla działań, które jednak są wewnętrzne.

No to może na przykładzie najlepiej będzie

Przykład1

\(\displaystyle{ a \oplus b = \frac{1}{2}(a+b) }\)

a) Wewnętrzność,
W liczbach naturalnych i całkowitych działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) nie jest wewnętrzne
W liczbach rzeczywistych i wymiernych działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) jest wewnętrzne

b) łączność

\(\displaystyle{ (a \oplus b) \oplus c = \frac{1}{2} [ \frac{1}{2}(a + b) +c ]}\)

\(\displaystyle{ a \oplus (b + c) = \frac{1}{2} ( a + [ \frac{1}{2} (b + c) ]) }\)

Zatem działania nie są łączne we wszystkich zbiorach

c) przemienność

\(\displaystyle{ a \oplus b = \frac{1}{2}( a + b) }\)

\(\displaystyle{ b \oplus a = \frac{1}{2} (b + a)}\)

Zatem działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) jest przemienne we wszystkich zbiorach


Przykład 2

\(\displaystyle{ a * b = \sqrt{ a^{2} + b^{2} } }\)

a) wewnętzność

Działanie \(\displaystyle{ *}\) nie jest wewnętrzne w liczbach naturalnych i całkowitych i wymiernych
Działenie \(\displaystyle{ *}\) jest wewnętrzne w liczbach rzeczywistych

b) łączność

\(\displaystyle{ (a*b)*c = a*(b*c)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} } *c = a * \sqrt{ b^{2} + c^{2} } }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} }^{2} } = \sqrt{ a^{2} + \sqrt{ b^{2} + c^{2} } ^{2} } }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} + c^{2} } = \sqrt{ a^{2} + b^{2} + c^{2} } }\)

Zatem działanie \(\displaystyle{ *}\) jest łączne we wszystkich zbiorach

c) przemienność

\(\displaystyle{ P = x*y = \sqrt{ x^{2} + y^{2} } }\)

\(\displaystyle{ L = y*x = \sqrt{ y^{2} + x^{2} }}\)

\(\displaystyle{ L = P}\)

zatem działanie \(\displaystyle{ *}\) jest przemienne we wszystkich zbiorach



I jak to będzie z tą łącznością i przemiennością gdy nie ma wewnętrznosci?

marpus pisze: 3 lis 2020, o 21:18 Przykład1

\(\displaystyle{ a \oplus b = \frac{1}{2}(a+b) }\)

a) Wewnętrzność,
W liczbach naturalnych i całkowitych działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) nie jest wewnętrzne
W liczbach rzeczywistych i wymiernych działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) jest wewnętrzne

b) łączność

\(\displaystyle{ (a \oplus b) \oplus c = \frac{1}{2} [ \frac{1}{2}(a + b) +c ]}\)

\(\displaystyle{ a \oplus (b + c) = \frac{1}{2} ( a + [ \frac{1}{2} (b + c) ]) }\)

Zatem działania nie są łączne we wszystkich zbiorach

W przypadku liczb całkowitych podstawiłeś bezmyślnie do wzoru, a nie sprawdziłeś, że np. gdy \(\displaystyle{ a=1,b=0}\), to \(\displaystyle{ a\oplus b=\frac{1}{2}}\) i wtedy para \(\displaystyle{ (a\oplus b, c)=(\frac{1}{2}, c)}\) nie należy do dziedziny działania \(\displaystyle{ \oplus}\) !

c) przemienność

\(\displaystyle{ a \oplus b = \frac{1}{2}( a + b) }\)

\(\displaystyle{ b \oplus a = \frac{1}{2} (b + a)}\)

Zatem działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) jest przemienne we wszystkich zbiorach

Z przemiennością muszę się zgodzić, ale podtrzymuję swoją poprzednią myśl.

marpus pisze: 3 lis 2020, o 21:18 Przykład 2

\(\displaystyle{ a * b = \sqrt{ a^{2} + b^{2} } }\)

a) wewnętzność

Działanie \(\displaystyle{ *}\) nie jest wewnętrzne w liczbach naturalnych i całkowitych i wymiernych
Działenie \(\displaystyle{ *}\) jest wewnętrzne w liczbach rzeczywistych

b) łączność

\(\displaystyle{ (a*b)*c = a*(b*c)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} } *c = a * \sqrt{ b^{2} + c^{2} } }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} }^{2} } = \sqrt{ a^{2} + \sqrt{ b^{2} + c^{2} } ^{2} } }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} + c^{2} } = \sqrt{ a^{2} + b^{2} + c^{2} } }\)

Zatem działanie \(\displaystyle{ *}\) jest łączne we wszystkich zbiorach

Ta sama uwaga co poprzednio.

matmatmm pisze: 3 lis 2020, o 22:59

c) przemienność

\(\displaystyle{ a \oplus b = \frac{1}{2}( a + b) }\)

\(\displaystyle{ b \oplus a = \frac{1}{2} (b + a)}\)

Zatem działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) jest przemienne we wszystkich zbiorach

Z przemiennością muszę się zgodzić, ale podtrzymuję swoją poprzednią myśl.

No a ja się nie zgodzę. Jak można powiedzieć, że działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) jest przemienne w \(\displaystyle{ \red\NN}\), skoro to nie jest działanie w \(\displaystyle{ \NN}\)?

Ja mam poważne obawy, że tutaj panuje spory chaos. Skoro prowadzący w konspekcie potrafi nazwać element odwrotny "elementem symetrycznym", to niewykluczone, że badanie własności działań też jest sprowadzone do manipulacji na znaczkach bez jakiejkolwiek refleksji, czy te znaczki mają sens. Dlatego najpierw wolałbym zobaczyć definicje, które zostały przedstawione marpusowi.

JK

Prosze

Jak definiujemy "działanie w zbiorze \(\displaystyle{ X}\)", które zgodnie z logiką tych materiałów jest czym innym niż "działanie wewnętrzne w zbiorze \(\displaystyle{ X}\)", skoro wewnętrzność jest traktowana jako własność działania?

Powiem uczciwie: to są bardzo niechlujnie przygotowane materiały, w których występują błędy formalne, co jest dyskwalifikujące.

JK

Jan Kraszewski pisze: 3 lis 2020, o 23:29 Jak definiujemy "działanie w zbiorze \(\displaystyle{ X}\)", które zgodnie z logiką tych materiałów jest czym innym niż "działanie wewnętrzne w zbiorze \(\displaystyle{ X}\)", skoro wewnętrzność jest traktowana jako własność działania?

Mogę się domyślać, że "działanie w zbiorze \(\displaystyle{ X}\)" to dowolna funkcja określona na produkcie \(\displaystyle{ X\times X}\), przy czym funkcję rozumiemy tutaj jako samą relację bez określania przeciwdziedziny.

Tym niemniej zgadzam się z opinią na temat materiałów. Na podstawie tych definicji nie potrafię odpowiedzieć na pytanie z zadania 1 o przemienność działań, które nie są wewnętrzne.

Dodano po 19 minutach :
Sugerowana przeze mnie definicja "działania w zbiorze \(\displaystyle{ X}\)" nie jest zgodna z powszechnie przyjętą terminologią.

Dlatego uważam, że mamy tutaj do czynienia z chaosem i bardzo niechlujną prezentacją definicji (a nie z przemyślaną prezentacją niestandardowego podejścia do definicji). Podejrzewam np. że "wewnętrzność działania" jest jakoś mylona z "zamkniętością podzbioru na działanie".

Pierwszy raz widzę też definicję grupy sformułowaną w taki sposób.

JK