Czy założenie przemienności jest niezbędne
Spektrum pierścienia to rodzina jego ideałów pierwszych. Nilradykał to ideał elementów nilpotentnych.Spektrum pierścienia
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Spektrum pierścienia
Udowodnić, że przecięcie wszystkich ideałów ze Spektrum pierścienia przemiennego jest nilradykałem tego pierścienia.
Czy założenie przemienności jest niezbędne
Spektrum pierścienia to rodzina jego ideałów pierwszych. Nilradykał to ideał elementów nilpotentnych.
Czy założenie przemienności jest niezbędne
Spektrum pierścienia to rodzina jego ideałów pierwszych. Nilradykał to ideał elementów nilpotentnych.-
arek1357
Re: Spektrum pierścienia
Jeżeli:
\(\displaystyle{ x \in Nil(P)}\) P pierścień przemienny
Jeżeli założymy, że x jest elementem jakiegoś pierścienia pierwszego to:
\(\displaystyle{ x^n=0 \Rightarrow x \cdot x^{n-1}=0 \Rightarrow x \in Spec(P) \vee x^{n-1} \in Spec(P)}\)
Wynika stąd, że Zbiór elementów nilpotentnych tworzy ideał pierwszy, każdy element nilpotentów zawiera się we wszystkich Ideałach pierwszych
Czyli elementy nilpotentne zawierają się w w przecięciu wszystkich ideałów pierwszych czyli w przecięciu się elementów spektrum P - \(\displaystyle{ Spec(P)}\)
W drugą stronę wystarczy założyć, że skoro:
\(\displaystyle{ x \notin Nil(P) \Rightarrow x \notin \bigcap_{I \in Spec(P)}^{} I}\)
\(\displaystyle{ x \notin Nil(P) \Rightarrow x^n \neq 0 n=1,2,3,...}\)
Rozważmy rodzinę ideałów \(\displaystyle{ S}\) dla których:
\(\displaystyle{ x^n \notin S }\)
W takiej rodzinie będzie w jakimś łańcuchu element maksymalny nazwijmy go \(\displaystyle{ A}\)
Niech:
\(\displaystyle{ a,b \in P , a \notin A , b \notin A}\)
\(\displaystyle{ A \subset A+aP}\)
\(\displaystyle{ A \subset A+bP}\)
I te zawierania są ostre
Ideały te z prawej nie należą do rodziny \(\displaystyle{ S}\)
Istnieją takie: \(\displaystyle{ n, m}\) , że:
\(\displaystyle{ x^n \in A+aP \wedge x^m \in A+bP }\)
Więc iloczyn:
\(\displaystyle{ x^n \cdot x^m = x^{n+m} \in (A+aP)(A+bP)=A^2+AbP+aPA+abP \subset A+abP}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x^{n+m} \in A+abP }\)
Czyli ideał:
\(\displaystyle{ A+abP \notin S}\)
Czyli ten ideał nie należy do naszej zdefiniowanej rodziny ideałów...
Więc też:
\(\displaystyle{ ab \notin A}\)
Wynika stąd, że ideał \(\displaystyle{ A}\) jest pierwszy
Ideał pierwszy ma tę własność, że skoro:
\(\displaystyle{ x \notin A \Rightarrow x^n \notin A \Rightarrow x \notin \bigcap_{I \in Spec(P)}^{} I}\)
Co dowodzi zawierania się w drugą stronę...
Dobrze to widać np. na pierścieniu:
\(\displaystyle{ Z_{60}=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,...,59\right\} }\)
\(\displaystyle{ Spec(Z_{60})=\left\{ (2), (3), (5)\right\} }\)
\(\displaystyle{ Nil(Z_{60})=\left\{ 0,30\right\} }\)
\(\displaystyle{ 30^2=0 \mod 60}\)
\(\displaystyle{ x \in Nil(P)}\) P pierścień przemienny
Jeżeli założymy, że x jest elementem jakiegoś pierścienia pierwszego to:
\(\displaystyle{ x^n=0 \Rightarrow x \cdot x^{n-1}=0 \Rightarrow x \in Spec(P) \vee x^{n-1} \in Spec(P)}\)
Wynika stąd, że Zbiór elementów nilpotentnych tworzy ideał pierwszy, każdy element nilpotentów zawiera się we wszystkich Ideałach pierwszych
Czyli elementy nilpotentne zawierają się w w przecięciu wszystkich ideałów pierwszych czyli w przecięciu się elementów spektrum P - \(\displaystyle{ Spec(P)}\)
W drugą stronę wystarczy założyć, że skoro:
\(\displaystyle{ x \notin Nil(P) \Rightarrow x \notin \bigcap_{I \in Spec(P)}^{} I}\)
\(\displaystyle{ x \notin Nil(P) \Rightarrow x^n \neq 0 n=1,2,3,...}\)
Rozważmy rodzinę ideałów \(\displaystyle{ S}\) dla których:
\(\displaystyle{ x^n \notin S }\)
W takiej rodzinie będzie w jakimś łańcuchu element maksymalny nazwijmy go \(\displaystyle{ A}\)
Niech:
\(\displaystyle{ a,b \in P , a \notin A , b \notin A}\)
\(\displaystyle{ A \subset A+aP}\)
\(\displaystyle{ A \subset A+bP}\)
I te zawierania są ostre
Ideały te z prawej nie należą do rodziny \(\displaystyle{ S}\)
Istnieją takie: \(\displaystyle{ n, m}\) , że:
\(\displaystyle{ x^n \in A+aP \wedge x^m \in A+bP }\)
Więc iloczyn:
\(\displaystyle{ x^n \cdot x^m = x^{n+m} \in (A+aP)(A+bP)=A^2+AbP+aPA+abP \subset A+abP}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x^{n+m} \in A+abP }\)
Czyli ideał:
\(\displaystyle{ A+abP \notin S}\)
Czyli ten ideał nie należy do naszej zdefiniowanej rodziny ideałów...
Więc też:
\(\displaystyle{ ab \notin A}\)
Wynika stąd, że ideał \(\displaystyle{ A}\) jest pierwszy
Ideał pierwszy ma tę własność, że skoro:
\(\displaystyle{ x \notin A \Rightarrow x^n \notin A \Rightarrow x \notin \bigcap_{I \in Spec(P)}^{} I}\)
Co dowodzi zawierania się w drugą stronę...
Dobrze to widać np. na pierścieniu:
\(\displaystyle{ Z_{60}=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,...,59\right\} }\)
\(\displaystyle{ Spec(Z_{60})=\left\{ (2), (3), (5)\right\} }\)
\(\displaystyle{ Nil(Z_{60})=\left\{ 0,30\right\} }\)
\(\displaystyle{ 30^2=0 \mod 60}\)