Matematyka.pl

Jak udowodnić takie twierdzenie ?

Jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest skończoną grupą abelową, \(\displaystyle{ m}\) dzieli rząd grupy \(\displaystyle{ G}\), wówczas istnieje podgrupa \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\).

Zostało nam to podane jako wniosek z tw. Kronecera o skończonych grupach abelowych. Potrafi ktoś to udowodnić ?

Czegoś wyraźnie brakuje w treści tego twierdzenia, zapewne związku \(\displaystyle{ m}\) z \(\displaystyle{ H}\).

JK

Powinno być tak:
Jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest skończoną grupą abelową, \(\displaystyle{ m}\) dzieli rząd grupy \(\displaystyle{ G}\), wówczas istnieje podgrupa \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) rzędu \(\displaystyle{ m}\).

Iza8723 pisze: 31 sty 2021, o 09:25Zostało nam to podane jako wniosek z tw. Kronecera o skończonych grupach abelowych.

Co mówi to twierdzenie?

Dasio11 pisze: 31 sty 2021, o 11:29 Co mówi to twierdzenie?

Każda skończona grupa abelowa \(\displaystyle{ G}\) jest izomorficzna z iloczynem prostym grup cyklicznych rzędów będących potęgami liczb pierwszych.

W takim razie dowód jest prosty, zniechęcające może być tylko jego abstrakcyjne sformułowanie. Żeby zrozumieć o co chodzi wystarczy zbadać kilka przykładów. A więc: czy potrafisz znaleźć

\(\displaystyle{ \bullet}\) podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 2}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_8}\)?

\(\displaystyle{ \bullet}\) podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 9}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_3 \times \ZZ_3 \times \ZZ_3}\)?

\(\displaystyle{ \bullet}\) podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 30}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_4 \times \ZZ_9 \times \ZZ_{25}}\)?

\(\displaystyle{ \bullet}\) podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 48}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_4 \times \ZZ_8 \times \ZZ_9}\)?

Jak chce znaleźć podgrupę w tych przykładach co podałeś, to biorę jakiś element z tej grupy i mnożę(działanie z grupy) i wtedy otrzymuje podgrupę.
Ale nie wiem jak to przenieść na dowód tego twierdzenia

Jeśli wypiszesz odpowiedzi do przykładów które podałem, to prawdopodobnie zobaczysz ogólną regułę.