Matematyka.pl

Hej,

Czy grupy cykliczne mogę opisać za pomocą relacji?

Opis za pomocą generatora znam:

\(\displaystyle{ \left\langle a\right\rangle =\left\{ a^{n} \in G, n \in Z \right\}}\)

Z kolei do grup dyhedralnych można znaleźć opis za pomoc relacji.
Czy ktoś podpowie jak te relacje zostały wyznaczone ?

\(\displaystyle{ D_{n} =\left\{ a,b | a^{n} =1, b^{2}=1,ba b^{-1}=1\right\}}\)

Jeśli przez a rozumiemy symetrie obrotowe wielokąta to dla mnie relacja \(\displaystyle{ a^{n} =1}\) jest jasna. Dla symetrii osiowych b, relacja \(\displaystyle{ b^{2}=1}\) też jest jak najbardziej ok.

Ale ta trzecia ?

Jaki jest związek między tymi dwiema grupami? Moja szybka analiza wskazuje, że:
1) po pierwsze dla grup skończonych grup acykliczna rzędu \(\displaystyle{ n \ge 3}\) będzie miała dwa razy mniej elementów niż grupa dyhedralna rzędu \(\displaystyle{ n \ge 3}\).
Czy mogę coś więc o tych grupach powiedzieć ciekawego? Że nie są izomorficzne , albo że jedna jest podgrupą drugiej

Tak, grupy cykliczne są nawet skończenie prezentowalne. Grupy skończone możesz zapisać jako \(\displaystyle{ \langle a | a^n = 1\rangle}\), natomiast jedyną (z dokładnością do izomorfizmu...) nieskończoną jako \(\displaystyle{ \langle a | \varnothing \rangle}\).

Stosuj proszę poprawną nomenklaturę. Grupy diedralne mają prezentację \(\displaystyle{ \langle x, y | x^n = y^2 = xyxy = 1 \rangle}\), łatwo widać, że Twój opis nie pasuje już do grup symetrii prostych wielokątów.

Na potwierdzenie, że dobrze Cię zrozumiałam. Skończone grupy cykliczne mogę opisać za pomocą relacji w następujący sposób:

\(\displaystyle{ C_{n}= \left\langle a | a^{n} = 1 \right\rangle}\)

i na tym koniec ( jedna relacja) ?

Sorki, rzeczywiście zrobiłam błąd we wcześniejszym poście. Powinno być jak już:

\(\displaystyle{ \left\langle a,b | a^{n}=1, b^{2} =1,ba b^{-1}= a^{-1} \right\rangle}\)

Znając dobrze elementy odwrotne tej grupy możemy powyższy zapis równoważnie wyrazić i tak:

\(\displaystyle{ \left\langle a,b | a^{n}=b^{2}=ba ba=1 \right\rangle}\)

Jest dokładnie tak. Element \(\displaystyle{ a}\) generuje grupę obrotów wielokąta, natomiast \(\displaystyle{ b}\) odpowiada za odbicie lustrzane omawianej figury. Nie jest to jednak formalny dowód, że istotnie tak zapisana grupa opisuje symetrie wielokąta, a raczej pewna intuicja.