Udowodnić, że dla dowolnego ciała \(\displaystyle{ K}\) ciało funkcji wymiernych \(\displaystyle{ K(X)}\) ma podpierścień, który nie jest noetherowski.Podpierścień K(X)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13537
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3436 razy
- Pomógł: 812 razy
Podpierścień K(X)
Udowodnić, że dla dowolnego ciała \(\displaystyle{ K}\) ciało funkcji wymiernych \(\displaystyle{ K(X)}\) ma podpierścień, który nie jest noetherowski.
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2022, o 01:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
arek1357
Re: Podpierścień K(X)
Może tak, weźmy pierścień:
\(\displaystyle{ P=\left\{ 2\right\} \cup \left\{ \frac{2}{x^n} , n \in N\right\} }\)
Zdefiniujmy ciąg ideałów:
\(\displaystyle{ I_{n}=\left( \frac{2}{x^n} \right) }\)
Teraz skonstruujmy ideały:
\(\displaystyle{ A_{n}=\left( I_{1},I_{2},...,I_{n}\right) }\)
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{n-1}} \in A_{n-1}}\)
ale:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{n}} \notin A_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{n}} \in A_{n}}\)
Jak widać:
\(\displaystyle{ A_{n}}\) - ciąg ideałów nie mających kresu górnego co sugeruje, że P nie jest noetherowski...
\(\displaystyle{ P=\left\{ 2\right\} \cup \left\{ \frac{2}{x^n} , n \in N\right\} }\)
Zdefiniujmy ciąg ideałów:
\(\displaystyle{ I_{n}=\left( \frac{2}{x^n} \right) }\)
Teraz skonstruujmy ideały:
\(\displaystyle{ A_{n}=\left( I_{1},I_{2},...,I_{n}\right) }\)
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{n-1}} \in A_{n-1}}\)
ale:
\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{n}} \notin A_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{n}} \in A_{n}}\)
Jak widać:
\(\displaystyle{ A_{n}}\) - ciąg ideałów nie mających kresu górnego co sugeruje, że P nie jest noetherowski...
-
arek1357