Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie pierścieniem z dzieleniem i \(\displaystyle{ a \in D}\). Wykazać, że ideał \(\displaystyle{ (x−a)}\) pierścienia
wielomianów \(\displaystyle{ D[x]}\) jest właściwy \(\displaystyle{ \Leftrightarrow a \in Z(D)}\)- centrum D.

Jak to zrobić? Proszę o pomoc w wytłumaczeniu o co tu chodzi.

Zadanie polega na prostym zastosowaniu definicji. Dla badania właściwości ideału \(\displaystyle{ (x-a)}\) wystarcza rozważanie mnożenia \(\displaystyle{ x-a}\) przez elementy pierścienia \(\displaystyle{ D}\), z obu stron.

To ja zadam pewnie głupie pytanie, jakie są elementy ideału \(\displaystyle{ \left( x-a\right) }\)?

Gdy \(\displaystyle{ R}\) jest dowolnym pierścieniem z jednością (niekoniecznie przemiennym), zaś \(\displaystyle{ a\in R}\), to \(\displaystyle{ (a)}\) oznacza ideał (obustronny) pierścienia \(\displaystyle{ R}\) generowany przez \(\displaystyle{ a}\). Będzie to więc zbiór skończonych sum elementów \(\displaystyle{ R}\) postaci \(\displaystyle{ r_1ar_2,r_1,r_2\in R}\).

No dobra, czyli jak rozumiem ideał \(\displaystyle{ (x-a)}\), to jest zbiór elementów postaci:
\(\displaystyle{ d_1(x-a)d_2+d_3(x-a)d_4+...}\),
gdzie \(\displaystyle{ d_i \in D}\)
Dobra to teraz mam pokazać tą równoważność. Chyba łatwiej będzie z prawej do lewej to tak zacznę. Zakładam, że \(\displaystyle{ a \in Z(D)}\), czyli \(\displaystyle{ ad=da}\), dla każdego \(\displaystyle{ d \in D}\). Mam pokazać, że ten ideał jest właściwy, czyli nie ma jedynki. Niestety dalej moja wiedza się kończy. Proszę o jakąś podpowiedź co dalej robić.

Dodano po 1 dniu 44 minutach 50 sekundach:
Może mi ktoś pomóc? Bo się w tym gubię.

W dowodzie implikacji w lewo wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ f \in (x-a)}\) jest \(\displaystyle{ f(a) = 0}\), zatem w szczególności \(\displaystyle{ 1 \notin (x-a)}\) czyli \(\displaystyle{ (x-a) \neq D[x]}\).

W drugą stronę weź element \(\displaystyle{ b \in D}\) spełniający \(\displaystyle{ ab \neq ba}\) i rozważ wielomian \(\displaystyle{ b(x-a) - (x-a)b}\).

Aha no chyba coś mi zaczyna świtać. W tej implikacji w lewo dla każdego \(\displaystyle{ f \in (x-a)}\) jest \(\displaystyle{ f(a)=0}\), bo jak rozumiem \(\displaystyle{ f}\) jest postaci \(\displaystyle{ d_1(x-a)d_2+d_3(x-a)d_4+...}\), więc jak podstawię do tego \(\displaystyle{ a}\) to się wszystko wyzeruje, nie wiem czy tu mogę wyciągnąć \(\displaystyle{ (x-a)}\) przed nawias, ale generalnie widać, że jak się \(\displaystyle{ a}\) podstawi to się wszystko wyzeruje, dobrze mówię? No dobra to teraz ta jedynka nie należy do \(\displaystyle{ (x-a)}\), bo dla każdego \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ f(a)=0}\), czyli zawsze w punkcie \(\displaystyle{ a}\) jest zero, a wielomian równy 1 musiałby mieć w punkcie \(\displaystyle{ a}\) też jedynkę, bo dla każdego argumentu musiałby być równy jeden, o to chyba chodzi tak? No ok, ale czy tutaj potrzebne jest to założenie, że \(\displaystyle{ a}\) należy do centrum \(\displaystyle{ D}\)? bo nie widzę, żeby gdzieś tu się z tego korzystało. No dobra to w jedną stronę jest udowodnione. To teraz w drugą stronę. Z tego co mówisz, rozumiem, że zakładamy, że \(\displaystyle{ a \notin Z(D) }\) i chcemy pokazać, że ideał \(\displaystyle{ (x-a)}\) zawiera jedynkę. Czyli z tego co się domyślam to trzeba wykazać, że \(\displaystyle{ b(x-a)-(x-a)b=1}\), dla każdego \(\displaystyle{ x \in D}\), dobrze rozumuję? No to rozpisuję \(\displaystyle{ bx-ba-xb+ab=bx-xb+ab-ba}\), ale teraz nie wiem co dalej. Nie mów mi wszystkiego, ale daj mi jakaś wskazówkę.

max123321 pisze: 5 lis 2020, o 21:15bo jak rozumiem \(\displaystyle{ f}\) jest postaci \(\displaystyle{ d_1(x-a)d_2+d_3(x-a)d_4+...}\), więc jak podstawię do tego \(\displaystyle{ a}\) to się wszystko wyzeruje, nie wiem czy tu mogę wyciągnąć \(\displaystyle{ (x-a)}\) przed nawias, ale generalnie widać, że jak się \(\displaystyle{ a}\) podstawi to się wszystko wyzeruje, dobrze mówię?

Zależy w jaki sposób podstawiasz.

max123321 pisze: 5 lis 2020, o 21:15No to rozpisuję \(\displaystyle{ bx-ba-xb+ab=bx-xb+ab-ba}\), ale teraz nie wiem co dalej.

Zapisz ten wielomian w najprostszej postaci.

Podstawiam w ten sposób: \(\displaystyle{ d_1(a-a)d_2+d3(a-a)d4+...=d_1 \cdot 0 \cdot d_2+d_3 \cdot 0 \cdot d_4+... }\) i z uwagi na to, że mnożenie jest łączne w pierścieniu dostaję \(\displaystyle{ 0 \cdot d_2+0 \cdot d_4+...=0+0+...=0}\), dobrze? A z tym wyciąganiem przed nawias to nie jestem pewien czy mogę napisać, że ten element jest równy \(\displaystyle{ (x-a)(d_1d_2+d_3d_4+...)}\), bo w sumie z tego co czytam to w pierścieniu jest prawo rozdzielności, ale z lewej, albo prawej strony, a nie z obu naraz, więc w efekcie chyba nie można.

A co do tej drugiej kwestii, o której napisałeś, to nie wiem jak jeszcze można uprościć ten wielomian \(\displaystyle{ bx-xb+ab-ba}\), bo z tego co wiem dozwolone jest tylko dodawanie, które jest przemienne i łączne i mnożenie, które jest łączne, ale nie jest przemienne i mamy jeszcze prawo rozdzielności, ale nie widzę z tego jak to uprościć. Chyba muszę się poddać.

max123321 pisze: 7 lis 2020, o 17:43Podstawiam w ten sposób: \(\displaystyle{ d_1(a-a)d_2+d3(a-a)d4+...=d_1 \cdot 0 \cdot d_2+d_3 \cdot 0 \cdot d_4+... }\)

To niepoprawny sposób, bo jak sam zauważyłeś - gdyby był poprawny, to założenie że \(\displaystyle{ a}\) jest w centrum byłoby niepotrzebne.

W pierścieniach nieprzemiennych ewaluacja nie jest homomorfizmem, co znaczy tyle, że dla dwóch wielomianów \(\displaystyle{ u, v \in D[x]}\) i elementu \(\displaystyle{ b \in D}\) nie musi być prawdą, że \(\displaystyle{ (u \cdot v)(b) = u(b) \cdot v(b)}\). Ty z tego nieprawdziwego wzoru korzystasz twierdząc, że wartością wielomianu \(\displaystyle{ d_1(x-a)d_2}\) na elemencie \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ d_1(a-a)d_2}\). Żeby zaś poprawnie obliczyć wartość wielomianu \(\displaystyle{ d_1(x-a)d_2 + d_3(x-a)d_4 + \ldots + d_{2n-1}(x-a)d_{2n}}\) na elemencie \(\displaystyle{ a}\), musisz najpierw doprowadzić ten wielomian do najprostszej postaci, a dopiero potem wstawić \(\displaystyle{ x=a}\).

A wzór \(\displaystyle{ (u \cdot v)(b) = u(b) \cdot v(b)}\) jest prawdziwy w przypadku kiedy \(\displaystyle{ b \in Z(D)}\), ale jak to w matematyce - żeby z tego korzystać, trzeba to udowodnić.

max123321 pisze: 7 lis 2020, o 17:43nie wiem jak jeszcze można uprościć ten wielomian \(\displaystyle{ bx-xb+ab-ba}\), bo z tego co wiem dozwolone jest tylko [...] mnożenie, które jest łączne, ale nie jest przemienne

Ogólnie mnożenie nie jest przemienne, ale element \(\displaystyle{ x}\) jest przemienny ze wszystkim (co łatwo wynika z definicji mnożenia wielomianów), zatem \(\displaystyle{ bx=xb}\).

Dzięki Dasio, jesteś Wielki .

No dobra to uzbrojony w tą wiedzę próbuję dalej: \(\displaystyle{ d_1(x-a)d_2 + d_3(x-a)d_4 + \ldots + d_{2n-1}(x-a)d_{2n}=}\)
\(\displaystyle{ =(d_1x-d_1a)d_2+(d_3x-d_3a)d_4+...+(d_{2n-1}x-d_{2n-1}a)d_{2n}=}\)
\(\displaystyle{ =d_1xd_2-d_1ad_2+d_3xd_4-d_3ad_4+...+d_{2n-1}xd_{2n}-d_{2n-1}ad_{2n}=}\)
Teraz korzystam z tego, że \(\displaystyle{ x}\) jest przemienny ze wszystkim oraz z tego, że \(\displaystyle{ a}\) jest w centrum i z tego, że dodawanie jest przemienne i piszę, że to się dalej równa:
\(\displaystyle{ =d_1d_2x+d_3d_4x+...+d_{2n-1}d_{2n}x-d_1d_2a-d_3d_4a-...-d_{2n-1}d_{2n}a=}\)
i teraz korzystam z rozdzielności:
\(\displaystyle{ =(d_1d_2+d_3d_4+...+d_{2n-1}d_{2n})x-(d_1d_2+d_3d_4+...+d_{2n-1}d_{2n})a}\)
i teraz już chyba mogę podstawić \(\displaystyle{ x=a}\)? Wówczas się okaże, że odejmuje te same dwa elementy i dostanę zero.

A w tej drugiej rzeczy w takim razie dostaję, że \(\displaystyle{ bx-xb+ab-ba=ab-ba}\) i wobec założenia o \(\displaystyle{ b}\) to wyrażenie
\(\displaystyle{ ab-ba \neq 0}\), ale my byśmy najlepiej chcieli, żeby to była jedynka, bo to by znaczyło, że lewa strona równoważności jest fałszywa. Jednak nie wiem zbytnio jak z tego dostać jedynkę. Proszę jeszcze o pomoc.

Rachunek jest w porządku, a w drugiej kwestii skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ D}\) to pierścień z dzieleniem.

Ok, \(\displaystyle{ D}\) jest pierścieniem z dzieleniem czyli \(\displaystyle{ \forall c\in D \setminus {0} \exists d \in D c \cdot d=1}\). No tak, ale o \(\displaystyle{ b}\) chyba nie mogę założyć, że jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a}\), bo to by znaczyło, że istnieje element \(\displaystyle{ b}\) odwrotny do \(\displaystyle{ a}\), który dodatkowo nie jest przemienny z \(\displaystyle{ a}\). A może się tak przecież zdarzyć, że element odwrotny do \(\displaystyle{ a}\) jest z nim przemienny.

Ale mam inny pomysł tylko nie wiem czy dobry. Jak spojrzymy na element \(\displaystyle{ ab-ba}\) jako na całość, to jest to na pewno element należący do \(\displaystyle{ D}\), który dodatkowo jest różny od zera, czyli ma element odwrotny. Czyli jeśli ten wyjściowy element \(\displaystyle{ b(x-a) - (x-a)b}\) przemnożymy przez element \(\displaystyle{ c \in D}\), który jest odwrotny do \(\displaystyle{ ab-ba}\), to dostaniemy \(\displaystyle{ c(b(x-a)-(x-a)b)=cb(x-a)-c(x-a)b}\), a to należy do ideału, bo \(\displaystyle{ cb}\) należy do pierścienia \(\displaystyle{ D}\), bo to iloczyn elementów \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ c}\) też należy do pierścienia \(\displaystyle{ D}\), bo to element odwrotny do elementu pierścienia. Zatem na końcu dostaniemy element \(\displaystyle{ c(ab-ba)=1}\), czyli jedynka należy do tego ideału. Czy tak jest dobrze?

Jest dobrze.