Matematyka.pl

Czy ktoś znałby rozwiązanie poniższego zadania?

Zad. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy A metodą bezwyznacznikową, gdzie

\(\displaystyle{ \[
A = ft[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 3 & 0 & 0 \\
4 & 6 & 6 & 4 & 0 \\
5 & 8 & 9 & 8 & 5 \\
\end{array}} \right].
\]}\)

Dzięki za wszelkie odpowiedzi. Jeśli to możliwe proszę o podanie pełnego rozwiązania z objaśnieniami...

Korzstamy z definicji macierzy odwrotnej

\(\displaystyle{ A A^{ - 1}\,=\,I}\)
\(\displaystyle{ \[\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 3 & 0 & 0 \\
4 & 6 & 6 & 4 & 0 \\
5 & 8 & 9 & 8 & 5 \\
\end{array}} \right].
ft [ \begin{array}{ccccc}
a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\
a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\end{array}\right ]

= ft[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}} \right].}\)

wykonyjemy mnożenie macierzy i rozwiazujemy układ 25-ciu równań.
Mnie wyszło

\(\displaystyle{ A^{ - 1}\,=\,\left [\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&0\\ - 1&\frac{1}{2}&0&0&0\\ \frac{1}{3}& - \frac{2}{3}&\frac{1}{3}&0&0\\ 0&\frac{1}{4}& - \frac{1}{2}&\frac{1}{4}&0\\ 0&0&\frac{1}{5}& - \frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{array}\right ]}\)

Rozwiązujemy układ \(\displaystyle{ 25}\)-równań? Chyba sobie żartujesz, na kolokwium też byś to zadanie tak zrobił? Autorowi podałem sposób na matematyka.org jak ma się zabrać za to zadanie. Myślę, że reguła, którą mu poleciłem daje się w ogóle zastosować w praktyce w przeciwieństwie do rozwiązywania układu \(\displaystyle{ 25}\)-równań liniowych.

Podałem metodę rozwiązania powyższego zadania bez użycia wyznaczników,
czyli zgodnie z treścią. Nikogo też nie zmuszam do rozwiązywania układu 25-równań!
Od tego są programy matematyczne. Chociaż przyznaję, że ten którym dysponuję nie poradził sobie z tym problemem.
Lecz okazało się, że biorąc pierwsze 5 równań, łatwo jest wyliczyć 5 niewiadomych,
następnie podstawiając w kolejnych pięciu równaniach - wyznaczmy następne
5 niewiadomych, itd..
Faktem jest, iż kiedy ja studiowałem nie było nawet kalkulatorów,
a kiedy byłem asystentem - marzeniem był kalkulator 4-ro działaniowy.
Lecz gdyby mi student pomnożył macierze, rozpisał układ równań i napisał
"aby wyznaczyć wspólczynniki macierzy, rozwiązuję układ równań",
to uznał bym mu to zadanie za w pełni rozwiązane.
Jeżeli możesz, przedstaw swoje rozwiązanie na forum, lub podaj link.