lemat burnside, kwadrat, trzy kolory

xxmikolajx · Post autor: **xxmikolajx** » 5 cze 2016, o 19:09

Rozważamy kwadraty, których krawędzie mogą mieć jeden z trzech kolorów: niebieski, zielony, czerwony.
Dwa kwadraty uznajemy za identyczne, jeśli jeden można uzyskać z drugiego poprzez obrót lub symetrię. Ile jest
takich rozróżnialnych kwadratów z tak pokolorowanymi bokami?

rozwiązanie z użyciem lemat burnside (nie moje) dawało wynik 33, i tu moje rozwiązanie które nie zgadza się z tym wynikiem:
rozważam 6 przypadków:
1. wszystkie krawędzie są jednego koloru
2. wszystkie krawędzie oprócz jednej są jednego koloru
3. 2 krawędzie są jednego koloru (leżą naprzeciw siebie a b a c), dwie pozostałe są różnego koloru (innego niż 2 pierwsze)
4. 2 krawędzie są jednego koloru (tworzą kąt prosty a a b c), dwie pozostałe są różnego koloru (innego niż 2 pierwsze)
5. 2 krawędzie są jednego koloru (tworzą kąt prosty a a b b), i pozostałe 2 innego.
6. 2 krawędzie są jednego koloru (leżą naprzeciw siebie a b a b), dwie pozostałe są innego ale tego samego koloru (tego samego względem siebie)
teraz zliczam:
1. 3
2. 6
3. 3
4. 3
5. 3
5. 3
sumując to wychodzi 21 =/= 33 (pytanie jest o to gdzie jest błąd).

M Maciejewski · Post autor: **M Maciejewski** » 5 cze 2016, o 20:47

Mi wyszło z lematu Burnside'a właśnie \(\displaystyle{ 21}\). Sprawdź dokładnie.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 6 cze 2016, o 09:57

a,b,c,d - krawędzie

\(\displaystyle{ (a)(b)(c)(d)}\) - identyczność

\(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) - obrót o 90

\(\displaystyle{ (a,c)(b,d)}\) - obrót o 180

\(\displaystyle{ (a,d,c,b)}\) - obrót o 270

\(\displaystyle{ (a,c)(b)(d)}\) -symetrie:

\(\displaystyle{ (a)(c)(b,d)}\)

\(\displaystyle{ (a,d)(b,c)}\)

\(\displaystyle{ (a,b)(c,d)}\)

Jerst to podgrupa ośmioelementowa grupy permutacji 24 elementowej:

Zliczanie dla trzech kolorów:

\(\displaystyle{ Z=\frac{1}{8}\left( 3^4+3^1+3^2+3^1+3^3+3^3+3^2+3^2\right)=168:8=21}\)

Taki wynik pasuje.