Matematyka.pl

Dlaczego o izomorficznych grupach (przestrzeniach) mówi się, że są nierozróżnialne? Weźmy na przykład \(\displaystyle{ (\RR_+, \cdot), \ (\RR, +)}\). Istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ \phi (x)=\ln x}\). Ale co w tych grupach jest nierozróżnialnego? Działanie jest inne, same zbiory też są inne, działania na tych samych liczbach dają różne wyniki... Skąd się wziął termin nierozróżnialnych przestrzeni?

musialmi pisze:Dlaczego o izomorficznych grupach (przestrzeniach) mówi się, że są nierozróżnialne?

Tak się mówi, gdy strukturę jednej da się przenieść na strukturę drugiej grupy. Izomorfizm to robi. A skoro struktury się przenoszą, to de facto opisanie jednej struktury jest jednocześnie opisaniem drugiej.

musialmi pisze: Weźmy na przykład \(\displaystyle{ (\RR_+, \cdot), \ (\RR, +)}\). Istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ \phi (x)=\ln x}\). Ale co w tych grupach jest nierozróżnialnego? Działanie jest inne, same zbiory też są inne, działania na tych samych liczbach dają różne wyniki...

Nierozróżnialność w nich to związek jednego działania z drugim. Ten związek wyrażony jest przez funkcję logarytmiczną.

Nie ma znaczenia, że działania są inne, ważne jest to, że działanie w jednej grupie przenosi się na działanie w drugiej. Tzn \(\displaystyle{ \ln(xy)=\ln x+\ln y}\) (a więc wartość na mnożeniu to suma wartości).

Działania na tych samych liczbach nie mają sensu, gdyż obie struktury mają a) różne działanie b) nie muszą być obiektami tego samego typu. Można na przykład pokazać, że zbiór klas abstrakcji wymiernych ciągów Cauchy'ego jest izomorficzny z liczbami rzeczywistymi, a przecież z jednej strony jest zbiór, a z drugiej liczba. I sposób działania w obu jest zupełnie inny.

arek1357 pisze: skoro jest jeden do jeden to znaczy , że psy i ludzie to to samo!

Nie, to znaczy tyle, że każdemu psu odpowiada jeden człowiek i na odwrót. Jak się to ma do teorii grup i homomorfizmów, którymi z definicji izomorfizmy grup są? Bo owe homomorfizmy są tutaj najbardziej kluczowe, ten element zgubiłeś.

Na tym przykładzie widać, jak mądre teorie matematyczne czasem doprowadzają do granicy absurdu.

Jak się nie umie znaleźć analogii, to i owszem

arek, ja, zadając pytanie, szukałem powiązania izomorficzności z "nierozróżnialnością" jak ją rozumiemy w codziennym języku. Na pewno bym nigdy nie powiedział, że zbiory psów i ludzi są nierozróżnialne.

Czyli tak ogólnie, to izomorficzność = nierozróżnialność (w sensie matematycznym). To dlaczego wprowadza się to jako własność izomorficznych ze sobą grup? To przecież tak, jakby powiedzieć "Oto własność samochodu: każdy samochód jest autem". Czy jeszcze czegoś nie zrozumiałem?

arek1357
jak już to bym powiedział ze wiedząc gdzie mieszka każdy pies możemy stwierdzić gdzie kto mieszka (zakładając ze pies mieszka w tym samym domu co właściciel ) wiec wiedzac ze jak Reksio Janka mieszka na prawo od Szarika Rudego to to Janek mieszka na prawo od Rudego

Choć mogę nie Rozumice dokona co to izomorfizm wiec mogę się mylić

ghostt - to co piszesz już jest dużo bliższe prawdy niż to co pisał arek1357

To dlaczego wprowadza się to jako własność izomorficznych ze sobą grup?

To pytanie jest trochę nie po polsku.

musialmi pisze: Czyli tak ogólnie, to izomorficzność = nierozróżnialność (w sensie matematycznym). To dlaczego wprowadza się to jako własność izomorficznych ze sobą grup?

Izomorficzność wprowadza się przede wszystkim w celach klasyfikacyjnych.

W teorii grup można zapytać się, jakie są skończenie generowane grupy abelowe. I okazuje się na przykład, że grup rzędu czwartego są dokładnie dwie: \(\displaystyle{ \ZZ_4}\) oraz \(\displaystyle{ \ZZ_2\times \ZZ_2}\). Jeżeli wymyślisz jakąkolwiek inną grupę abelową czwartego rzędu, będzie ona izomorficzna z jedną z wypisanych. Zatem zamiast badać wszystkie grupy rzędu \(\displaystyle{ 4}\) wystarczy badać tylko te dwie. To jest potęga izomorfizmu.

musialmi pisze: To przecież tak, jakby powiedzieć "Oto własność samochodu: każdy samochód jest autem". Czy jeszcze czegoś nie zrozumiałem?

A czy słowa samochód i auto nie są czasem synonimami w języku polskim?

I nie, nie o to chodzi. Masz jakiś obiekt i nadajesz mu pewną cechę. Dla samochodu może to być na przykład ilość drzwi. Możesz powiedzieć wtedy, że nie odróżniasz samochodów dwu- od trzy-drzwiowych w jakkolwiek abstrakcyjnym ujęciu.

arek1357 pisze:Załóżmy, że w pewnym mieście każdy człowiek ma psa i teraz robimy izomorfizm między ludźmi a psami
skoro jest jeden do jeden to znaczy , że psy i ludzie to to samo!

Pozostawię to bez komentarza...

arek1357 pisze: Na tym przykładzie widać, jak mądre teorie matematyczne czasem doprowadzają do granicy absurdu.

Na przykładzie tego zdania widać, jak ignorancja matematyczna oraz nieumiejętne porównania prowadzą do absurdów.

yorgin pisze: Zatem zamiast badać wszystkie grupy rzędu \(\displaystyle{ 4}\) wystarczy badać tylko te dwie. To jest potęga izomorfizmu.

Brzmi przekonująco

yorgin pisze:

musialmi pisze: To przecież tak, jakby powiedzieć "Oto własność samochodu: każdy samochód jest autem". Czy jeszcze czegoś nie zrozumiałem?

A czy słowa samochód i auto nie są czasem synonimami w języku polskim?

No właśnie są. A izomorficzność nie pociąga za sobą nierozróżnialności, a nierozróżnialność izomorficzności? Bo jeśli tak, to mogą być używane zamienne, a skoro tak, to są synonimami. A jeśli nie, to nie. Bo jak na razie wiem(y), że jak jest izomorficzne, to jest nierozróżnialne, a w drugą stronę - nie mam pojęcia.

AiDi pisze:

To dlaczego wprowadza się to jako własność izomorficznych ze sobą grup?

To pytanie jest trochę nie po polsku.

Żartujesz sobie? "Zatem dlaczego wprowadza się nierozróżnialność jako własność izomorficznych ze sobą grup?"

Dobra, ciężki dzień, już zrozumiałem

Izomorfizm powoduje jeszcze to, że wszystkie twierdzenia dotyczące struktury grupy \(\displaystyle{ G}\) przenoszą się na wszystkie grupy z nią izomorficzne. Grupa permutacji zbioru trójelementowego wygląda na oko zupełnie inaczej niż grupa izometrii trójkąta równobocznego, ale de facto te grupy sa izomorficzne. Jeżeli znajdziesz w permutacjach element rzędu dwa, to izomorfizm wskaże ci symetrię trójkąta. Elementy rzędu 3 (czyli cykle trójelementowe) zostaną przeprowadzone w izometrie rzędu trzy, czyli w obroty. Itd...

arek1357 pisze:Ja tak pisałem specjalnie no bo bijekcja to coś bardziej ogólnego niż izomorfizm ale w sumie uogólniając można sprowadzić do jednego i tego samego ...

Arku, bzdurki gadasz. Każdy samochód jest pojazdem, więc pojazd to coś bardziej ogólnego niż samochódale chyba nie chciałbyś jechać na wakacje dźwigiem samobieżnym.

Bijekcja utożsamia ze sobą dwa zbiory, które maja taką sama ilość elementów i tylko tyle. Izomorfizm grup daje nie tylko równoliczność zbiorów, ale także tożsamość struktury algebraicznej.

arek1357 pisze:Zgadza się ale idąc tym tokiem myślenia podzielę ludzi na klasy abstrakcji w relacji równego wzrostu
i wtedy pan dajmy na to żyd=pani Jadzia bo mają po 160 cm. Ale Pani Jadzia lubi wieprzowinę.

Bez sensu: grupujesz ludzi ze względu na wzrost, a potem chcesz z tego wyciagnąć wniosek co jedzą. To sie po prostu nie trzyma kupy. Ale jeżeli lubisz takie bezsensowne zabawy - wolna wola...