Matematyka.pl

Zad. 1
Niech (G1, o) oraz (G2, #) bedą dwiema grupami. Udowodnic, że zbiór par (g1, g2), gdzie g1 \(\displaystyle{ \small\in}\) G1, g2 \(\displaystyle{ \small\in}\) G2 tworzy grupę wzgledem działania okreslonego wzorem: (g1, g2)$(g1', g2') = (g1 o g1', g2 # g2'), gdzie g1, g1' \(\displaystyle{ \small\in}\) G1, a g2, g2' \(\displaystyle{ \small\in}\) G2.
Grupe tę nazywamy suma prostą grup (G1, o) oraz (G2, #).


Zad.2.
Centrum grupy G nazywamy zbiór tych elementów G, które sa przemienne z dowolnym elementem grupy G.
Z(G) ={a \(\displaystyle{ \small\in}\) G: \(\displaystyle{ \forall}\) g \(\displaystyle{ \small\in}\) G ag=ga}
Wykazać, że Z(G) jest podgrupą grupy G.

Zad.1

Zadanie jest prosciutkie, wypisz, co wynika z tego, ze (G1, o) i (G2, #) sa grupami, nastepnie wypisz aksjomaty dla sumy prostej i bardzo latwo te z grup G1 i G2 wskakuja do srodka.

Dokladnie, z aksjomatow grupy wypisanych dla G1 i G2 prawie natychmiast uzasadniamy, ze zbior tych par spelnia aksjomaty grupy.
Jesli sie gdzies placzesz, to napisz, ale nie zrobimy (zazwyczaj) zadania zamiast Ciebie.
A w drugim zadaniu z kolei nalezy sprawdzic, ze zbior Z(G) spelnia aksjomaty grupy. Mozna tez zastosowac inna wlasnosc, ze zbior H \(\displaystyle{ \small\subset}\) G jest podgrupa grupy G, wtedy i tylko wtedy, jesli \(\displaystyle{ \forall}\)a, b\(\displaystyle{ \small\in}\)H (element ab-1\(\displaystyle{ \small\in}\)H). Z tego latwiej (i mniej pisania ).