Grupa prosta

Biedronka20 · Post autor: **Biedronka20** » 10 wrz 2009, o 10:21

Prosze o pomoc w zadaniu na poprawke Algebry>

Uzasadnij ze nie istnieje grupa prosta rzędu 132.

p_pokora · Post autor: **p_pokora** » 10 wrz 2009, o 12:06

Skorzystaj z Twierdzenia :
Grupa abelowa \(\displaystyle{ G}\) jest prosta wtw, gdy \(\displaystyle{ |G| = p}\), gdzie p jest liczbą pierwszą.

Post autor: **Rogal** » 10 wrz 2009, o 12:21

A co z nieabelowymi?

pipol · Post autor: **pipol** » 10 wrz 2009, o 12:31

mozna udowodnic ze jesli rzad grupy \(\displaystyle{ G}\) jest postaci \(\displaystyle{ p^2 q r}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q,r}\) -liczby pierwsze to grupa \(\displaystyle{ G}\) jest rozwiazalna. stad juz wynika ze jesli jest nieprzemienna to nie moze byc prosta.

Biedronka20 · Post autor: **Biedronka20** » 10 wrz 2009, o 13:39

NIEWIEM JAK TO UDOWODNIC ZA BARDZO. PRÓBUJEMY POŁACZYĆ DWA TWIERDZENIA NP. ZE GRUPA RZEDU pqr jest rozwiązalna i grupa rzedu 2^{ alpha } *3 jest rozwiązalna itp, ale niewiem jak udowodnic ze \(\displaystyle{ 2^{ \alpha }}\) *p*q lub \(\displaystyle{ p^{2}}\) *q*r jest rozwiązalna.-- 10 wrz 2009, o 13:48 --a czy w grupie rzędu 132 istnieje dziel;nik normalny rzędu 3? Bo wtedy ułatwiło by to sprawę bardzo

pipol · Post autor: **pipol** » 10 wrz 2009, o 14:42

pipol pisze:mozna udowodnic ze jesli rzad grupy \(\displaystyle{ G}\) jest postaci \(\displaystyle{ p^2 q r}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q,r}\) -liczby pierwsze to grupa \(\displaystyle{ G}\) jest rozwiazalna. stad juz wynika ze jesli jest nieprzemienna to nie moze byc prosta.

sorry powinno być jest rozwiązalna lub izomorficzna z \(\displaystyle{ A_s}\) gdzie \(\displaystyle{ A_s}\) to grupa symetryczna. dowod tego faktu mozesz znalezc w : M. Hall, The theory of groups, The MacMillan Company, New York, 1959 , na stronie 169.
Oczywiscie to wystarcza aby pokazac twoje zadanie.

Post autor: **max** » 10 wrz 2009, o 15:45

Dość prosta metoda - korzystając z twierdzeń Sylowa wykazać, że istnieje tylko jedna podgrupa Sylowa dla pewnego dzielnika pierwszego rzędu naszej grupy.
To by wystarczyło, bo jeśli w grupie istnieje tylko jedna podgrupa ustalonego rzędu, to jest ona normalna.

Mamy:
\(\displaystyle{ 132 = 4\cdot 3\cdot 11}\)

Popatrzmy najpierw na 11-podgrupy Sylowa.
Z twierdzenia Sylowa mają one rząd 11.
Ponieważ 11 jest liczbą pierwszą to każde dwie podgrupy rzędu 11 przecinają się trywialnie.
Ponadto z twierdzenia Sylowa liczba 11-podgrup przystaje do do 1 modulo 11.
Zatem ich liczba wynosi 1, lub 12 (więcej być nie może, bo wtedy mielibyśmy w naszej grupie co najmniej \(\displaystyle{ (2\cdot 11 + 1)(11 - 1) + 1 = 231}\) elementów).

Wystarczy zobaczyć co dzieje się gdy liczba 11-podgrup wynosi 12.
Liczba elementów w takich podgrupach wynosi wtedy \(\displaystyle{ 12\cdot (11-1) + 1 = 121.}\)

Teraz patrzymy na 3-podgrupy Sylowa.
Mają one rząd 3, każde dwie przecinają się trywialnie i przystają do 1 modulo 3.
Ponieważ 3 i 11 są względnie pierwsze, to żaden z elementów należących 11-podgrup nie należy do żadnej 3-podgrupy.
Zatem liczba 3-podgrup wynosi 1 lub 4 (inaczej mielibyśmy w naszej grupie co najmniej \(\displaystyle{ 121 + (2\cdot 3 + 1)(3 - 1) = 135}\) elementów).

Pozostaje rozpatrzyć przypadek kiedy mamy 4 3-podgrupy.
Wtedy liczba elementów w tych 3-podgrupach jest równa \(\displaystyle{ 4\cdot (3-1) + 1 = 9.}\)

W takim przypadku w 11-podgrupach i 3-podgrupach mamy łącznie \(\displaystyle{ 120 + 8 + 1 = 129}\) elementów i pozostają 3 elementy, które wraz z elementem neutralnym tworzą jedyną 2-podgrupę (jest ona rzędu 4 i przecina się trywialnie z każdą z 3- i 11-podgrup).

Biedronka20 · Post autor: **Biedronka20** » 10 wrz 2009, o 21:44

dzieki wszystkim