Matematyka.pl

zbadaj, czy struktura złozona z wszystkich par dwoch liczb wymiernych oprócz \(\displaystyle{ (0,0)}\)..., z działaniem * określony poniżej jest grupą...? Jesli tak, to znajdz element neutralny, odwrotny...., zbadaj abelowość, oraz znajdż o ile to możliwe nietrywialna podgrupę skończoną i nieskończoną.

\(\displaystyle{ (x, y)*(x', y') = (xx' + 2yy', xy' + x'y)}\)

Hmm, pewnie to już moje klasyczne rozwiązanie...

Odwzorowanie \(\displaystyle{ (x,y) \ \longrightarrow\ \left(\begin{array}{rr}x&y\cr2y&x\end{array}\right)}\) definiuje homomorficzne włożenie struktury z zadania w grupę macierzy 2x2...
Stąd:
1. jest to grupa (abelowa - widać, że wynik pozostaje bez zmian, kiedy zamienimy miejscami (x,y) z (x',y')),
2. której element neutralny to (1,0)
3. element odwrotny to \(\displaystyle{ (x,y)^{-1} \ = \ \left(\frac{x}{x^2-2y^2},-\frac{y}{x^2-2y^2}\right)}\)
4a. Najprostsza podgrupa skończona (i nietrywialna) to {(1,0),(-1,0)} (ale korzystając z reprezentacji macierzowej można pokusić się o więcej przykładów),
4b. a nietrywialna podgrupa nieskończona to np. {(2^n,0) : n naturalne}

Sir George napisał:

ale korzystając z reprezentacji macierzowej można pokusić się o więcej przykładów),

no więć jakbys miał czas i ochote to jak najbardziej możesz sie pokusić! każdy nietrywialny przykład mile widziany....

mol_ksiazkowy pisze:Sir George napisał:
[cite]Cytat:
ale korzystając z reprezentacji macierzowej można pokusić się o więcej przykładów),[cite]

Zwracam honor, poza {(1,0),(-1,0)} nie ma innych skończonych podgrup. Wynika to z faktu, że n-ta potęga elementu (x,y) dla n nieparzystych jest postaci (xP(x^2,y^2),yQ(x^2,y^2)), a dla n parzystych postaci (R(x^2,y^2),xyS(x^2,y^2)) dla pewnych wielomianów P, Q, R, S (zależnych oczywiście od n). Zatem nie ma elementów rzędu nieparzystego (wówczas bowiem musimy mieć y=0 i x>0, co daje x=1, czyli element neutralny). Dla rzędu parzystego mamy xy=0, czyli albo y=0 i x^(2n)=1 (czyli x=-1), albo x=0 i 2^(n)y^(2n)=1 (co przeczy założeniu, że y jest wymierne).