Matematyka.pl

Mam opisać elementy pierścienia \(\displaystyle{ Z\left[ \sqrt[3]{3} \right]}\). Jak to się robi?

no dziękuję, takie jest rozwiązanie, ale dlaczego?

Ten zbiór zawiera się w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\left[\sqrt[3]3\right]}\), jest zamknięty na operacje i zawiera \(\displaystyle{ \sqrt[3]3}\).

czyli chodzi o to, że jeśli będzie już trzecia potęga to nie będzie niewymierności? dla \(\displaystyle{ Z\left[ \sqrt[4]{5} \right]}\) będzie \(\displaystyle{ \{a+b\sqrt[4]5+c(\sqrt[4]5)^2+d(\sqrt[4]5)^3: a\in\mathbb Z,b\in\mathbb Z,c\in\mathbb Z, d\in\mathbb Z\}}\) ?

Tak jest.

Chodzi głównie o pokazanie, że zbiór jest zamknięty na działania w pierścieniu, bo jasne, że to pierścień i że zawiera się w \(\displaystyle{ \mathbb Z[\sqrt[3]3]}\). Jeśli wymnożymy dwa elementy postaci: \(\displaystyle{ a+b\alpha+c\alpha^2}\), dla \(\displaystyle{ \alpha=\sqrt[3]3}\), to otrzymamy wyrażenie, w którym każdy składnik z wyższą niż \(\displaystyle{ 2}\) potęgą \(\displaystyle{ \alpha}\) redukujemy za pomocą \(\displaystyle{ \alpha^{n+3}=3\alpha^n}\).