Elementy nierozkładalne w Z[i]

andzior · Post autor: **andzior** » 4 mar 2007, o 23:12

zadanie

Znaleźć elementy nierozkładalne w pierścieniu \(\displaystyle{ Z}\)

g · Post autor: g » 5 mar 2007, o 12:31

wszystkie te, ktorych kwadrat modulu jest liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\). dowiesc sprobuj samemu.

Blackie · Post autor: **Blackie** » 20 mar 2007, o 13:29

Zatem elementy \(\displaystyle{ 5+0i, 13+0i, 23+0i}\) są rozkładalne w tym pierścieniu całkowitym. Jak mogę to pokazać ? Próbowałam korzystać z definicji elementów rozkładalnych (głównie 3-go warunku o iloczynie) Proszę o jakieś wskazówki. Z góry dziękuje.

g · Post autor: g » 20 mar 2007, o 19:54

\(\displaystyle{ 23}\) nie jest. jest postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\). jak chodzi o \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 13}\) to \(\displaystyle{ 5 = (2+i)(2-i), 13 = (2+3i)(2-3i)}\).

Blackie · Post autor: **Blackie** » 20 mar 2007, o 21:02

Dzięki Niedawno też do tego doszłam ;P Tylko jak mogę uzasadnić, że musi być to postać \(\displaystyle{ 4k+3}\), nie udowadniając tego faktu? Może wiesz jak nazywa się twierdzenie, które o tym mówi ?

g · Post autor: g » 20 mar 2007, o 21:11

\(\displaystyle{ 4k+3}\) odpadaja od razu, bo suma dwoch kwadratow jest jedynka albo zerem modulo \(\displaystyle{ 4}\). a \(\displaystyle{ p = 4k+1}\) sie rozklada na sume dwoch kwadratow z pomoca twierdzenia Fermata. czasem sie mowi o nim, ze srednie, po angielsku funkcjonuje jako "4n+1 theorem". dowod bodajze u Sierpinskiego.

Blackie · Post autor: **Blackie** » 20 mar 2007, o 21:38

Ok. Już wszystko wiem . Thnx