Matematyka.pl

Niech bedzie \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) dziedzina euklidesowa (przemienna) w ktorej dzielenie daje jedyny (jednoznaczny) rezultat. Znaczy to
\(\displaystyle{ \exists \varphi: \mathbb{R}\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb{N}}\) takie ze
\(\displaystyle{ \forall a,b\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \varphi (a) q \varphi(ab)}\)
i
\(\displaystyle{ \forall a,b\in \mathbb{R} \exists \mbox{ jedyne } q,r \mathbb{R}}\)takie ze \(\displaystyle{ a=qb+r}\) i \(\displaystyle{ r=0 \varphi(r) R=K[x]}\) gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest cialem i \(\displaystyle{ K[x]}\) to pierscien wielomianow o jendej zmiennej \(\displaystyle{ x}\) w ciele \(\displaystyle{ K}\)

Bylabym barzdo wdzieczna jesli ktos mi mze z tym zadaniem pomoc. Na razie doszlam do tego ze \(\displaystyle{ R}\) zawiera cialo lub pierscien wielomianow, ale do rownosci (lub do jakiegos izomorfismu co jest w algebrze prawie to samo) ni rosz nie dochodze.

Alba

[ Dodano: Pią Lip 08, 2005 6:00 pm ]
Hej, w koncu wyszlo. W tej chwili przepisac troche trudno, ale jutro juz to przepisze tutaj.

[ Dodano: Pon Lip 11, 2005 9:29 pm ]
Wykazac ze jedynymi dziedzinami euklidesowymi w ktorych dzielenie daje jedyny iloraz i jedyna reszta, sa ciala y pierscienie wielomianow
Niech bedzie \(\displaystyle{ R}\) dziedzina euklidesowa gdzie dzielenie daje jedyny iloraz i jedyna reszte. Znaczy to ze istnieje funkcja \(\displaystyle{ \varphi :R-\{0\}\rightarrow\mathbb{N}}\) taka .ze \
\(\displaystyle{ \forall a,b\in R-\{0\}: \varphi (a)\leq \varphi (ab)}\)
\(\displaystyle{ \forall a,b\in R:\exists ! (q,r)\in R\times R / a=qb+r ft\{\begin{array}{l}r=0 \\ \\ \varphi (r)< \varphi (b)\end{array}\right.}\)
Powinnismy wykazac ze \(\displaystyle{ R=K}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest cialem; albo ze \(\displaystyle{ R=K[x]}\), gdzie \(\displaystyle{ K[x]}\) jest pierscieniem wielomianow na ciele \(\displaystyle{ K}\). Zauwazmy ze jesli \(\displaystyle{ R=K}\) cialo to \(\displaystyle{ R=K=R^{*}\cup \{0\}}\), i ze jesli \(\displaystyle{ R=K[x]}\) to \(\displaystyle{ R^{*}=K-\{0\}}\) (Obs: \(\displaystyle{ R^{*}}\) oznacza zbior elementow \(\displaystyle{ r\in R}\) dla ktorych istnieje \(\displaystyle{ r^{-1}}\) ); w obu przypadkach \(\displaystyle{ R^{*}\cup\{0\}}\) powinno byc podpier'scieniem \(\displaystyle{ R}\).
Twierdzenie 1:: Funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) spelnia ze \(\displaystyle{ \varphi (a+b)\leq max(\varphi(a),\varphi(b)),\forall a\neq(-b)\in R-\{0\}}\)
Gdyby istnialy \(\displaystyle{ ,b\in R-\{0\}}\) takie .ze \(\displaystyle{ \varphi(a+b)>max\{\varphi(a),\varphi(b)\}}\) wtedy \(\displaystyle{ a=0(a+b)+a=1(a+b)-b,}\) z \(\displaystyle{ \varphi(a) b=0 a.b=0\in K}\)
gdyby \(\displaystyle{ a\neq 0 b\neq 0 a\in R^{*} b\in R^{*}\Rightarrow ab\in R^{*}}\)
Jesli \(\displaystyle{ a,b\in K}\)
Gdyby \(\displaystyle{ a=0 b=0 a+b=0}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow a+b=b a+b=a\vee a+b=0\\ a+b\in K}\)
gdyby \(\displaystyle{ a+b\neq 0\wedge a\neq 0\wedge b\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \varphi(a+b)\leq max\{\varphi(a),\varphi(b)\}=\varphi(1)}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow a+b\in R^{*}\Rightarrow a+b\in K}\)
Twierdzenie 3:: Jesli \(\displaystyle{ R\neq K}\) to istnieje \(\displaystyle{ u\in R}\) takie ze
\(\displaystyle{ \quad R=\{\sum_{i=0}^{n}a_{i}u^{i}/n\in\mathbb{N}\wedge a_{i}\in K,\forall i=1\dots n\}}\).
Sluzy nam \(\displaystyle{ u\in R-K}\) takie ze \(\displaystyle{ \varphi (u)=min\{\varphi(z)/z\in R-K\}}\)
Niech bedzie \(\displaystyle{ b\in R}\), powinnismy wykazac ze mozna napisac \(\displaystyle{ b}\) jako sume \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}a_{i}u^{i}}\). Robimy wykaz przez indukcje na \(\displaystyle{ n=\varphi(b)}\)
Jesli \(\displaystyle{ \varphi(b)=\varphi(1)\Rightarrow b\in K\Rightarrow b=a_{0}=\sum_{i=0}^{0}a_{i}u^{i}}\), z \(\displaystyle{ a_{0}=b\in K}\).
Przypuszczmy ze \(\displaystyle{ b\in R-K}\) i ze kazde \(\displaystyle{ b'\in R-\{0\}}\) z \(\displaystyle{ \varphi(b')}\)