Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli w grupie \(\displaystyle{ G}\) tylko dwa elementy (różne od \(\displaystyle{ e}\)) komutują ze sobą, to \(\displaystyle{ G}\) jest równa \(\displaystyle{ S_3}\) lub \(\displaystyle{ \ZZ_3}\).

Nie bardzo rozumiem, przecież dowolny element grupy zawsze komutuje ze swoją odwrotnością. Wówczas jedynie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3 }\) powinno być odpowiedzią.

chyba to się rozjaśni z tabelki w \(\displaystyle{ S_3}\)

Dziękuję, nie wziąłem pod uwagę elementów spełniających \(\displaystyle{ t^2 = 1}\)
Na początek zauważmy, że dowolna grupa przemienna spełniająca warunki zadania to \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3}\).
Następnie, gdy \(\displaystyle{ G}\) zawiera same elementy rzędu 2, to jest ona przemienna - dla \(\displaystyle{ e \neq s,t \in G}\) zachodzi \(\displaystyle{ (st)^2 = 1}\), co pociąga za sobą \(\displaystyle{ st = t^{-1}s^{-1} = ts}\).
Jeżeli w \(\displaystyle{ G}\) istnieje element \(\displaystyle{ g}\) rzędu większego niż 2, to musi być rzędu 3, gdyż podgrupa cykliczna \(\displaystyle{ \left\langle g \right\rangle }\) jest przemienna. Więcej takowych elementów istnieć nie może. Co więcej, z poprzedniego paragrafu, w \(\displaystyle{ G}\) możemy mieć 0 lub 1 elementów rzędu 2 (więcej by ze sobą komutowało). W pierwszym przypadku dostajemy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3}\), w drugim, dla nietrywialnego \(\displaystyle{ s \in G}\) rzedu 2, otrzymujemy prezentację \(\displaystyle{ G = \left\langle g, s | g^3 = s^2 = (gs)^2 = 1\right\rangle }\) odpowiadającą \(\displaystyle{ S_3}\).