Matematyka.pl

witam wszystkich mam tu dwa ciekawe problemiki
właściwie to nie jestem pewien czy to jest możliwe. Mianowice mam zadanie z działań grup i pierścieni:
W zbiorze Z określamy działanie:
\(\displaystyle{ AoB=A^{2}+B-1}\)
i teraz sprawdziłem że ro działąnie jest przemienne. czy jest łączne mam wątpliwości ale uważam że nie jest. czy dobrze myślę?
i jescze wyszło mi ciekawe "zjawisko" powstały mi dwa elementy neutralne. Czy to możliwe??
bo potem dla tych elementów neutralnych ułożyłem se dwa równania na elemnty odwrotne.
I moje pytanie brzmi:
Czy są mozliwe dwa elementy neutralne?
Czy to działanie jest łączne??
PS. ten znak między A i B to kółeczko tak to traktujcie a nie jak literę "o"

\(\displaystyle{ A \circ B=A^2+B-1}\)
Czy działanie jest laczne.
Wezmy dowolne \(\displaystyle{ A,B,C\in \mathbb{G}}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{G}}\) jest dowolnym niepustym zbiorem.
Dzialanie jest laczne, jezeli:
\(\displaystyle{ \forall A,B,C \mathbb{G}\quad A\circ(B\circ C)=(A\circ B)\circ C\\L=A\circ(B\circ C)=A^2+(B\circ C)-1=A^2-1+(B^2+C-1)=A^2+B^2+C-2\\P=(A\circ B)\circ C=(A\circ B)^2+C-1=(A^2+B-1)^2+C-1\\L\not=P}\)
Dzialanie nie jest laczne

Czy grupie sa mozliwe dwa elementy neutralne ?
Odpowiedz brzmi NIE.
Dowod:
Niech \(\displaystyle{ (G,\cdot)}\) bedzie grupa oraz \(\displaystyle{ e,e'}\) beda dwoma elementami neutralnymi.
Zatem:
\(\displaystyle{ e=e\cdot e'=e'\cdot e=e'}\)

nieprzemienne.....

\(\displaystyle{ (Mn(R),\cdot)}\) jest grupa, oraz dzialanie \(\displaystyle{ \cdot}\) jest nieprzemienne.
Jesli za to wezmiemy element neutralny \(\displaystyle{ I}\), to:
\(\displaystyle{ \forall A\in (Mn(R)) \quad I\cdot A=A\cdot I=A}\)