Matematyka.pl

Zaczęłam robić zadanie:

Wyznaczyć wszystkie automorfizmy ciała \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}).}\)

Może ktoś spojrzy i podpowie:

\(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}\) jest ciałem rozkładu wielomianu \(\displaystyle{ (x^2-2)(x^2-3)}\), więc \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}\) jest rozszerzeniem normalnym ciała \(\displaystyle{ \mathbb{Q}.}\) Rozszerzenie to ma stopień 2, więc są dwa automorfizmy.

No i tutaj stanęłam.-- 3 lut 2016, o 10:37 --Może ktoś zerknie i pomoże?

To w takim razie jak mam to rozpisać?
Już nawet rozpisałam sobie bazy :
\(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}\colon 1,\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})\colon 1,\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}\colon 1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}.}\)

Dowolny element
\(\displaystyle{ x\in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}\)
można jednoznacznie zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ x= a_0+a_1\sqrt{2}+a_2\sqrt{3} + a_3\sqrt{6}\colon a_0, a_1,a_2,a_3\in \mathbb{Q}}\).

Rozpatrzmy dowolny automorfizm.
Niech
\(\displaystyle{ f\in G(L|\mathbb{Q})}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ f(x) = a_0+a_1 \cdot f(\sqrt{2})+a_2\cdot f(\sqrt{3}) + a_3\cdot f(\sqrt{6})}\)

Czy dobrze myślę i jak dalej to rozpisać?

Dobrze. Teraz dalej:

\(\displaystyle{ f \big( \sqrt{6} \big) = f \big( \sqrt{2} \big) \cdot f \big( \sqrt{3} \big),}\)

więc ten automorfizm zależy tylko od wartości \(\displaystyle{ f \big( \sqrt{2} \big)}\) oraz \(\displaystyle{ f \big( \sqrt{3} \big).}\) Ponadto

\(\displaystyle{ \bullet \: f \big( \sqrt{2} \big)^2 = f(2) = 2,}\) zatem \(\displaystyle{ f \big( \sqrt{2} \big) \in \big\{ - \sqrt{2}, \sqrt{2} \big\},}\)
\(\displaystyle{ \bullet \: f \big( \sqrt{3} \big)^2 = f(3) = 3,}\) zatem \(\displaystyle{ f \big( \sqrt{3} \big) \in \big\{ - \sqrt{3}, \sqrt{3} \big\}.}\)

To daje cztery różne automorfizmy.