Matematyka.pl

Dane jest następujące wyrażenie:

\(\displaystyle{ k(x) = \frac{2x^3 + 5x^2 +4}{2x+1}}\)

Znajdź takie \(\displaystyle{ x}\), dla którego \(\displaystyle{ k}\) należy do zbioru liczb całkowitych.

Ma ktoś może jakieś wskazówki? Pozdrawiam.

Jeżeli podzielisz wielomian \(\displaystyle{ 2x^3+5x^2+4}\) przez wielomian \(\displaystyle{ 2x+1}\), to otrzymasz:

\(\displaystyle{ \frac{x^2+2x-1+5}{2x+1}}\) (mam nadzieję, że się nie pomyliłem:)




Oczywiści \(\displaystyle{ x^2+2x-1}\) należy do zbioru liczb całkowitych dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru liczb całkowitych, a \(\displaystyle{ \frac{5}{2x+1}}\) nie, więc sprawdzamy tylko dla jakich \(\displaystyle{ x}\) powyższy iloraz jest liczbą całkowitą. Widać od razu że to wyrażenie jest liczbą całkowitą tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\) lub dla \(\displaystyle{ x=2}\).
A zatem \(\displaystyle{ k(x)}\) należy do zbioru liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x=2}\)

A.... przeoczyłem coś:
także \(\displaystyle{ x=-1}\) jest rozwiązaniem tego zadania.

A \(\displaystyle{ x=-3}\) ??

.....a to fakt. Ślepy jakiś chyba jestem skoro to też przeoczyłem:)

przy dzieleniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{2x^{3} + 5x ^{2} + 4 }{2x+1} = x ^{2} + 2x-1 + \frac{5}{2x+1}}\)

aby\(\displaystyle{ \frac{5}{2x+1}}\) było liczbą całkowitą
2x+1 = 5 lub 2x+1 = -5 lub 2x+1 = 1 lub 2x+1 = -1
więc
x=2 lub x=-3 lub x= 0 lub x = -2

phmp pisze:przy dzieleniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{2x^{3} + 5x ^{2} + 4 }{2x+1} = x ^{2} + 2x-1 + \frac{5}{2x+1}}\)

aby\(\displaystyle{ \frac{5}{2x+1}}\) było liczbą całkowitą
2x+1 = 5 lub 2x+1 = -5 lub 2x+1 = 1 lub 2x+1 = -1
więc
x=2 lub x=-3 lub x= 0 lub x = -2

chyba nie \(\displaystyle{ x=-2}\)tylko\(\displaystyle{ x=-1}\)