Matematyka.pl

Dzień dobry,
Mam następujące zadanie:
Czy podana równość jest prawdziwa?
\(\displaystyle{ [(A - B) \cup (B \cap C)] - (A \cap B \cap C) = [(A \cup C) \cap (A \cup B)] - (A \cap B)}\)
Jeżeli prawdziwa to udowodnij, a jeżeli nie - podaj kontrprzykład.

Rozrysowałam sobie te zbiory i wyszło mi, że są takie same.
Następnie rozpisałam sobie lewą stronę w następujący sposób:
\(\displaystyle{ L = (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \in C) \wedge (x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \notin C)}\)
Nie umiem sobie poradzić z kolejnym krokiem przekształcenia. Czy dobrze zaczęłam zadanie?
Będę wdzięczna za wszelkie sugestie

gorgo15 pisze: ↑20 lis 2019, o 14:10Następnie rozpisałam sobie lewą stronę w następujący sposób:
\(\displaystyle{ L = (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \in C) \wedge (x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \notin C)}\)

Jak zwykle brakuje wprowadzenia: "Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x}\). Mamy:".

gorgo15 pisze: ↑20 lis 2019, o 14:10Nie umiem sobie poradzić z kolejnym krokiem przekształcenia. Czy dobrze zaczęłam zadanie?

Niedobrze. Niepoprawnie zastosowałaś (albo raczej w ogóle nie zastosowałaś) prawo de Morgana i zapomniałaś o jednej parze nawiasów. Dlatego lepiej robić przekształcenia po kolei, a nie wszystko naraz.

Powinno być:

\(\displaystyle{ L = \red{(}\,(x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \in C)\,\red{)} \wedge (x \notin A \,\red{\lor}\, x \notin B \, \red{\lor}\, x \notin C)}\)

Zastosuj w czerwonym nawiasie rozdzielność alternatywy względem koniunkcji.

JK

Dziękuję.
\(\displaystyle{ ...=[((x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B)) \wedge ( (x \in A \wedge x \notin B) \vee x \in C)] \wedge (x \notin A \vee x \notin B \vee x \notin C)}\)
\(\displaystyle{ =(x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in C) \wedge (x \in B \vee x \in C) \wedge (x \notin A \vee x \notin B\vee x \notin C)}\)