Zbiory -prawdziwość rowności

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
gorgo15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 16:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Zbiory -prawdziwość rowności

Post autor: gorgo15 »

Dzień dobry,
Mam następujące zadanie:
Czy podana równość jest prawdziwa?
\(\displaystyle{ [(A - B) \cup (B \cap C)] - (A \cap B \cap C) = [(A \cup C) \cap (A \cup B)] - (A \cap B)}\)
Jeżeli prawdziwa to udowodnij, a jeżeli nie - podaj kontrprzykład.

Rozrysowałam sobie te zbiory i wyszło mi, że są takie same.
Następnie rozpisałam sobie lewą stronę w następujący sposób:
\(\displaystyle{ L = (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \in C) \wedge (x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \notin C)}\)
Nie umiem sobie poradzić z kolejnym krokiem przekształcenia. Czy dobrze zaczęłam zadanie?
Będę wdzięczna za wszelkie sugestie ;)
Ostatnio zmieniony 20 lis 2019, o 15:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34537
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5226 razy

Re: Zbiory -prawdziwość rowności

Post autor: Jan Kraszewski »

gorgo15 pisze: 20 lis 2019, o 14:10Następnie rozpisałam sobie lewą stronę w następujący sposób:
\(\displaystyle{ L = (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \in C) \wedge (x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \notin C)}\)
Jak zwykle brakuje wprowadzenia: "Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x}\). Mamy:".
gorgo15 pisze: 20 lis 2019, o 14:10Nie umiem sobie poradzić z kolejnym krokiem przekształcenia. Czy dobrze zaczęłam zadanie?
Niedobrze. Niepoprawnie zastosowałaś (albo raczej w ogóle nie zastosowałaś) prawo de Morgana i zapomniałaś o jednej parze nawiasów. Dlatego lepiej robić przekształcenia po kolei, a nie wszystko naraz.

Powinno być:

\(\displaystyle{ L = \red{(}\,(x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \in C)\,\red{)} \wedge (x \notin A \,\red{\lor}\, x \notin B \, \red{\lor}\, x \notin C)}\)

Zastosuj w czerwonym nawiasie rozdzielność alternatywy względem koniunkcji.

JK
gorgo15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 16:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: Zbiory -prawdziwość rowności

Post autor: gorgo15 »

Dziękuję.
\(\displaystyle{ ...=[((x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B)) \wedge ( (x \in A \wedge x \notin B) \vee x \in C)] \wedge (x \notin A \vee x \notin B \vee x \notin C)}\)
\(\displaystyle{ =(x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in C) \wedge (x \in B \vee x \in C) \wedge (x \notin A \vee x \notin B\vee x \notin C)}\)
ODPOWIEDZ