Matematyka.pl

Hej , małe zadanie ze zbiorów potęgowych , nie wiem czy dobrze je zrobiłem bo rozpisałem dowód słownie. Mianowicie :

Udowodnij ,że jeżeli \(\displaystyle{ P(A) \cap P(B) = \left\{ \emptyset\right\}}\) ,to \(\displaystyle{ A \cap B= \emptyset}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ x \in P(A) \cap P(B) \Leftrightarrow x \in P(A) \wedge x \in P(B)}\) wnioskuje z tego ,że jedyną częścią wspólną tych zbiorów będzie podzbiór \(\displaystyle{ \left\{ \emptyset\right\}}\).
Z definicji zbioru potęgowego wiemy ,że \(\displaystyle{ \emptyset}\) jest podzbiorem każdego zbioru potęgowego. Dlatego stanowi on jedyną część wspólną \(\displaystyle{ P(A) i P(B)}\) Wiedząc ,że jest to jedyna część wspólna możemy stwierdzieć ,ze podzbiory \(\displaystyle{ P(A) i P(B)}\) są od siebie różne a ,że te same elementy które tworzą podzbiory tworzą również zbiór A i zbiór B wynika ,że zbiór A i zbiór B nie mają części wspólnej dlatego ich część wspólna jest zbiorem pustym.

Dobrze to zrobiłem ? Czy jednak mam jakiś błąd w rozumowaniu ? Pozdrawiam !

To jest do bani, więc zapewne dostałeś zero punktów.

kacpersowinski pisze:Mamy:
\(\displaystyle{ x \in P(A) \cap P(B) \Leftrightarrow x \in P(A) \wedge x \in P(B)}\) wnioskuje z tego ,że jedyną częścią wspólną tych zbiorów będzie podzbiór \(\displaystyle{ \left\{ \emptyset\right\}}\).

Z tego, czyli z czego? Tu nie ma żadnego wnioskowania.

Nawiasem mówiąc, część wspólna jest zawsze jedyna. Zapewne chciałeś napisać, że jedynym elementem części wspólnej jest zbiór pusty. A tego nie trzeba wnioskować, to jest napisane w założeniu. Na razie więc przepisałeś założenie.

kacpersowinski pisze:Z definicji zbioru potęgowego wiemy ,że \(\displaystyle{ \emptyset}\) jest podzbiorem każdego zbioru potęgowego.

Jest podzbiorem każdego zbioru, nie tylko potęgowego, więc "definicja zbioru potęgowego" nie ma tu nic do rzeczy. No chyba, że chciałeś napisać, że że \(\displaystyle{ \emptyset}\) jest ELEMENTEM każdego zbioru potęgowego...

kacpersowinski pisze:Dlatego stanowi on jedyną część wspólną \(\displaystyle{ P(A) i P(B)}\) Wiedząc ,że jest to jedyna część wspólna możemy stwierdzieć ,ze podzbiory \(\displaystyle{ P(A) i P(B)}\) są od siebie różne a ,że te same elementy które tworzą podzbiory tworzą również zbiór A i zbiór B wynika ,że zbiór A i zbiór B nie mają części wspólnej dlatego ich część wspólna jest zbiorem pustym.

A to jest, z całym szacunkiem, matematyczny bełkot.

JK

Bardzo dziękuję ! wreszcie rozumiem swój błąd Pozdrawiam !