Wystarczy wziąć prostokąt domknięty \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \times \left[ 0, \frac{1}{2} \right]}\), i najpierw na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{2} \right]}\), na osi \(\displaystyle{ x,}\) zbudować trójkąt równoramienny o wysokości \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Następnie odcinek \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2},1 \right]}\) dzielimy na pół, i na jego lewej części \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right]}\) budujemy trójkąt równoramienny o wysokości \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Następny trójkąt równoramienny budujemy na odcinku \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{4}, \frac{7}{8} \right]}\)- ma on również wysokość \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Następne cztery trójkąty będą miały wysokość \(\displaystyle{ \frac{1}{8};}\) itd. ...
Z własności przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego (w sytuacji gdy poprowadzimy wysokości w takich trójkątach równoramiennych) wynika, że długości ramion bocznych pierwszego trójkąta są większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), drugiego i trzeciego- większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), trzeciego, czwartego, piątego i szóstego- większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{8},}\) itd.
Zatem długość całej łamanej jest większa lub równa niż suma szeregu:
\(\displaystyle{ \left[ \left( \frac{1}{2}\right) \cdot 2\right] + \left[ \left( \frac{1}{4} \right) \cdot 2 \cdot 2\right] + \left[ \left( \frac{1}{8} \right) \cdot 2 \cdot 4 \right] + \ldots= 1+1+1+\ldots= + \infty.}\)
A zatem również długość tej łamanej jest nieskończona, mimo, że mieści się ona na ograniczonym obszarze \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \times \left[ 0, \frac{1}{2} \right].\square}\)
Mamy też taki ciekawy fakt, mówiący, że na odcinku domkniętym \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) można zbudować funkcję ciągłą, o wartościach rzeczywistych nieujemnych, mającą w tym odcinku nieskończenie wiele maksimów i minimów.
O dziwo, można taką funkcję łatwo skonstruować.
W tym celu odcinek \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) dzielimy na pół, i na lewej połowie budujemy trójkąt równoboczny. Następnie, pozostałą prawą połowę dzielimy na dwie równe części, i na lewej części \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2}; \frac{3}{4} \right]}\) znowu budujemy mniejszy trójkąt równoboczny, itd. ... W ten sposób otrzymujemy nieskończony łańcuch górski złożony ze szczytów stopniowo zbliżających się do punktu \(\displaystyle{ \left( 1,0\right).}\) Oto ilustracja tej konstrukcji: \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)Taka funkcja jest określona w każdym punkcie odcinka domkniętego \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) z wyjątkiem ostatniego punktu \(\displaystyle{ x=1}\). W tym punkcie przyjmujemy: \(\displaystyle{ f\left( 1\right)=0}\).
Ponieważ zbliżając się do punktu \(\displaystyle{ x=1}\) wysokości szczytów zmierzają do \(\displaystyle{ f\left( 1\right) =0}\), więc taka funkcja jest ciągła w każdym punkcie odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right].}\)
Jednocześnie, dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego w punkcie:
\(\displaystyle{ x_n= 1- \left( \frac{1}{2} \right) ^{n};}\)
mamy minimum, a więc mamy nieskończenie wiele minimum;
a w punkcie:
\(\displaystyle{ x_n ^{+}= 1-\left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1}- \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2}; }\)
mamy maksimum, a więc maksimów również jest nieskończenie wiele.
A wszystko dzieje się na zwykłym odcinku domkniętym \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right].\square}\)
