Wykazać, że poniższe zbiory są co najwyżej przeliczalne. Które z tych zbiorów są przeliczalne? Które mogą być przeliczalne?
a) zbiór wszystkich przedziałów otwartych o obu końcach wymiernych
b) zbiór parami rozłącznych przedziałów otwartych
c) zbiór punktów nieciągłości monotonicznej funkcji \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR}\)
Zbiory co najwyżej przeliczalne
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Zbiory co najwyżej przeliczalne
Pomyśl o injekcji z tego zbioru w \(\displaystyle{ \QQ^2.}\)aneta909811 pisze: ↑22 sty 2024, o 12:27 a) zbiór wszystkich przedziałów otwartych o obu końcach wymiernych
Pomyśl o injekcji z tego zbioru w \(\displaystyle{ \QQ}\) (korzystając z faktu, że liczby wymierne leżą gęsto w liczbach rzeczywistych).
To zadanie polega na wykorzystaniu poprzedniego podpunktu.aneta909811 pisze: ↑22 sty 2024, o 12:27 c) zbiór punktów nieciągłości monotonicznej funkcji \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR}\)
JK
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Zbiory co najwyżej przeliczalne
a) Zauważ, że para liczb wymiernych \(\displaystyle{ x,y}\), takich, że \(\displaystyle{ x<y}\), taka para wyznacza dany przedział otwarty...
b) Rozumiem, że chodzi tu o rodzinę zbiorów rozłącznych, czyli taką, że każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne
Jeśli tak, to przedziałowi otwartemu tej rodziny przypisujesz liczbę wymierną ze środka, i pokazujesz, że jest to funkcja różnowartościowa.
c) Zauważ, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego można skonstruować funkcje silnie rosnącą mającą dokładnie \(\displaystyle{ n}\) punktów nieciągłości. Dla \(\displaystyle{ n=0}\) wystarczy wziąć funkcję \(\displaystyle{ I _{\RR}}\), dana jako: \(\displaystyle{ I _{\RR}\left( x\right)=x;}\), a dla \(\displaystyle{ n>0}\), to rozważ przedział \(\displaystyle{ \left[ 0,2n\right]}\); tzn. najpierw na liczbach ujemnych i na przedziale jednostkowym \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right) }\), czyli na zbiorze \(\displaystyle{ \RR_- \cup \left[ 0,1\right)}\) rozważ identyczność: \(\displaystyle{ f\left( x\right)=x}\), potem zrób skok o jednostkę w górę, potem znowu weź funkcję liniową nachyloną do osi \(\displaystyle{ x}\) pod katem \(\displaystyle{ 45 ^{\circ}}\) na kolejnym przedziale jednostkowym \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right]}\) , potem znowu skok o jeden w górę, potem znowu bierzesz funkcję liniową nachyloną pod kątem \(\displaystyle{ 45 ^{\circ}}\) na kolejnym przedziale jednostkowym, i tak aż do liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) na osi \(\displaystyle{ x}\), i, co za tym idzie, i tak aż do liczby naturalnej \(\displaystyle{ 2n}\) na osi \(\displaystyle{ y}\). A potem dalej do końca weź funkcję liniową nachyloną pod katem \(\displaystyle{ 45 ^{\circ}}\) do osi \(\displaystyle{ x}\) (choć, nachylenie tego kąta, nie ma już znaczenia, byle by tylko byłaby to funkcja silnie rosnąca). Wtedy będziesz miała funkcję silnie rosnącą mającą dokładnie \(\displaystyle{ n}\) punktów nieciągłości.
Zauważ, że nie ograniczając się do przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,n\right]}\) na osi \(\displaystyle{ x}\) i do przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,2n\right]}\) na osi \(\displaystyle{ y}\), robiąc tą konstrukcję 'w nieskończoność' otrzymasz funkcję silnie rosnącą mającą przeliczalnie wiele punktów nieciągłości.
Podobną konstrukcję można wykonać dla funkcji silnie malejących na argumentach ujemnych.
Natomiast dowolna funkcja monotoniczna \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\), tzn. dowolna funkcja słabo rosnąca lub słabo malejącą, nie może mieć więcej niż przeliczalnie wiele punktów nieciągłości- co udowodniłem to: TUTAJ:
b) Rozumiem, że chodzi tu o rodzinę zbiorów rozłącznych, czyli taką, że każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne
Jeśli tak, to przedziałowi otwartemu tej rodziny przypisujesz liczbę wymierną ze środka, i pokazujesz, że jest to funkcja różnowartościowa.c) Zauważ, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego można skonstruować funkcje silnie rosnącą mającą dokładnie \(\displaystyle{ n}\) punktów nieciągłości. Dla \(\displaystyle{ n=0}\) wystarczy wziąć funkcję \(\displaystyle{ I _{\RR}}\), dana jako: \(\displaystyle{ I _{\RR}\left( x\right)=x;}\), a dla \(\displaystyle{ n>0}\), to rozważ przedział \(\displaystyle{ \left[ 0,2n\right]}\); tzn. najpierw na liczbach ujemnych i na przedziale jednostkowym \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right) }\), czyli na zbiorze \(\displaystyle{ \RR_- \cup \left[ 0,1\right)}\) rozważ identyczność: \(\displaystyle{ f\left( x\right)=x}\), potem zrób skok o jednostkę w górę, potem znowu weź funkcję liniową nachyloną do osi \(\displaystyle{ x}\) pod katem \(\displaystyle{ 45 ^{\circ}}\) na kolejnym przedziale jednostkowym \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right]}\) , potem znowu skok o jeden w górę, potem znowu bierzesz funkcję liniową nachyloną pod kątem \(\displaystyle{ 45 ^{\circ}}\) na kolejnym przedziale jednostkowym, i tak aż do liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) na osi \(\displaystyle{ x}\), i, co za tym idzie, i tak aż do liczby naturalnej \(\displaystyle{ 2n}\) na osi \(\displaystyle{ y}\). A potem dalej do końca weź funkcję liniową nachyloną pod katem \(\displaystyle{ 45 ^{\circ}}\) do osi \(\displaystyle{ x}\) (choć, nachylenie tego kąta, nie ma już znaczenia, byle by tylko byłaby to funkcja silnie rosnąca). Wtedy będziesz miała funkcję silnie rosnącą mającą dokładnie \(\displaystyle{ n}\) punktów nieciągłości.
Zauważ, że nie ograniczając się do przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,n\right]}\) na osi \(\displaystyle{ x}\) i do przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,2n\right]}\) na osi \(\displaystyle{ y}\), robiąc tą konstrukcję 'w nieskończoność' otrzymasz funkcję silnie rosnącą mającą przeliczalnie wiele punktów nieciągłości.
Podobną konstrukcję można wykonać dla funkcji silnie malejących na argumentach ujemnych.
Natomiast dowolna funkcja monotoniczna \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\), tzn. dowolna funkcja słabo rosnąca lub słabo malejącą, nie może mieć więcej niż przeliczalnie wiele punktów nieciągłości- co udowodniłem to: TUTAJ: