Podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) zbioru liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem całkowito-pełnym, gdy z każdymi jego dwoma elementami \(\displaystyle{ a_1,a_2 \in A}\) każda pośrednia liczba całkowita (tzn. taka liczba całkowita \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\)) należy do podzbioru \(\displaystyle{ A}\).
Tzn. zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, gdy 'wchodząc do środka' zbioru \(\displaystyle{ A}\) zbiór ten zawiera wszystkie liczby całkowite.
Można łatwo wykazać, że przekrój dwóch zbiorów całkowito-pełnych jest całkowito-pełny, oraz łatwo jest wykazać że suma, różnica i różnica symetryczna dwóch zbiorów całkowito-pełnych nie musi być całkowito-pełna. Jednak wykazałem ostatnio, że jeśli dwa zbiory całkowito-pełne mają niepuste przecięcie, to ich suma jest całkowito-pełna. Uogólniłem ten fakt, przez indukcję, na \(\displaystyle{ n}\) zbiorów całkowito-pełnych mających niepuste przecięcie. Przed chwilą udowodniłem też, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) całkowito pełny, to jego odbicie względem \(\displaystyle{ 0}\) jest również zbiorem całkowito-pełnym. Niedawno udowodniłem też, że jeśli mamy zbiór całkowito-pełny \(\displaystyle{ A \subset \RR}\), to przekrój \(\displaystyle{ A \cap \ZZ}\) jest przedziałem w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right).}\) Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Wykażemy najpierw, że jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) całkowito-pełne, to przekrój \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest całkowito-pełny.
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU::
Jeśli mamy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ A_1,A_2, \ldots, A_n \subset \RR}\) całkowito-pełnych, to ich przekrój \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n}\) jest całkowito-pełny- można to łatwo indukcyjnie udowodnić.
Łatwo można się przekonać, że jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) całkowito-pełne, to ich suma, różnica (wystarczy w środku pierwszego zbioru wyciąć odpowiedni przedział o długości większej od \(\displaystyle{ 1}\)) i różnica symetryczna nie musi być całkowito-pełna.
Wykażemy teraz, że jeśli dwa zbiory całkowito-pełne \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) mają niepuste przecięcie, to ich suma jest całkowito-pełna.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Aby wykazać, że suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest całkowito-pełna, to weźmy elementy \(\displaystyle{ a_1,a_2 \in A \cup B,}\) oraz weźmy liczbę całkowitą \(\displaystyle{ b}\), taką, że: \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \in A \cup B}\).
Jeśli \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A}\), to mamy: \(\displaystyle{ A\ni a_1<b<a_2 \in A}\), i \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\), więc ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, więc wnioskujemy, że: \(\displaystyle{ b \in A}\), a zatem \(\displaystyle{ b \in A \cup B}\).
Podobnie rozumujemy gdy: \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in B}\).
Jeśli \(\displaystyle{ a_1 \in A, a_2 \in B}\), to ponieważ (z założenia) przekrój \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest niepusty, więc istnieje jego element \(\displaystyle{ c \in A \cap B}\). Wtedy \(\displaystyle{ b,c \in \RR}\), a zbiór liczb rzeczywistych jest liniowo uporządkowany przez naturalny porządek na nim, więc: \(\displaystyle{ b \le c}\) lub \(\displaystyle{ c \le b}\).
Jeśli \(\displaystyle{ b \le c}\), to: \(\displaystyle{ A\ni a_1<b \le c \in A}\), i \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\), więc ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, więc możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ b \in A}\), i \(\displaystyle{ b \in A \cup B}\).
Jeśli \(\displaystyle{ c \le b}\), to:
\(\displaystyle{ B\ni c \le b<a_2 \in B}\), i \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\), więc ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest całkowito-pełny, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b \in B \subset A \cup B}\).
I pozostał nam ostatni przypadek gdy: \(\displaystyle{ a_1 \in B \hbox{ i } a_2 \in A.}\) Wtedy rozumujemy w sposób podobny jak powyżej.
A zatem suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest zbiorem całkowito-pełnym \(\displaystyle{ .\square}\)
Uogólnijmy ten fakt, przez indukcję, na \(\displaystyle{ n}\) zbiorów całkowito-pełnych, mających niepuste przecięcie, tzn.:
Jeśli mamy n zbiorów \(\displaystyle{ A_1,A_2, \ldots, A_n \subset \RR}\) całkowito-pełnych o niepustym przecięciu, to ich suma \(\displaystyle{ A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n}\) jest całkowito-pełna. Oto:
INDUKCYJNY DOWÓD TEGO FAKTU:
Jeśli \(\displaystyle{ n=1}\), to: \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_1\right\}= A_1}\) jest z założenia zbiorem całkowito-pełnym.
Jeśli \(\displaystyle{ n=2}\), to ponieważ przekrój (z założenia) \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2}\) jest niepusty, więc z poprzedniego dowodu otrzymujemy, że suma \(\displaystyle{ A_1 \cup A_2}\) jest całkowito-pełna.
Krok indukcyjny:
Przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\) zbiorów (\(\displaystyle{ n \ge 2}\)). Pokażemy, że będzie zachodzić dla \(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\) zbiorów.
Niech \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots, A _{n+1} \subset \RR}\) będą zbiorami całkowito-pełnymi o niepustym przecięciu. Istnieje zatem element \(\displaystyle{ x \in \RR}\), taki, że: \(\displaystyle{ x \in A_i}\), dla każdego \(\displaystyle{ i=1,2, \ldots, n+1}\). A więc w szczególności mamy: \(\displaystyle{ x \in A _{n+1}}\) i \(\displaystyle{ x \in A_1}\). A zatem \(\displaystyle{ x \in A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n}\). Ponieważ przekrój większej rodziny zbiorów jest mniejszy (o ile mniejsza rodzina nie jest pusta), więc: \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n= \bigcap \left\{ A_1, A_2, \ldots, A_n\right\}\supset \bigcap \left\{ A_1, A_2, \ldots, A _{n+1} \right\}= A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A _{n+1}}\), który to ostatni zbiór jest (z założenia) niepusty. Istnieje więc element \(\displaystyle{ x \in A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A _{n+1}}\); i, na mocy powyższej inkluzji: \(\displaystyle{ x \in A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n}\), a więc ten przekrój jest niepusty. Ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots, A_n}\) są całkowito-pełne (i mają niepuste przecięcie), więc z założenia indukcyjnego otrzymujemy, że ich suma jest całkowito-pełna. Również zbiór \(\displaystyle{ A_{n+1}}\) jest całkowito- pelny. Jak wykazaliśmy, te dwa zbiory mają niepuste przecięcie, więc z przypadku \(\displaystyle{ n=2}\), otrzymujemy, że suma : \(\displaystyle{ A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A _{n+1}= \left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n\right) \cup A _{n+1}}\) jest zbiorem całkowito-pełnym, co dowodzi kroku indukcyjnego.
Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego faktu.\(\displaystyle{ \square}\)
Wykażemy jeszcze, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest całkowito-pełny, to jego odbicie względem \(\displaystyle{ 0}\), tzn. zbiór:
\(\displaystyle{ -A:= \left\{ -a\Bigl| \ a \in A\right\};}\)
jest również zbiorem całkowito-pełnym.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Aby wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ \left( -A\right)}\) jest całkowito-pełny, to niech \(\displaystyle{ a_1,a_2 \in \left( -A\right)}\), i niech \(\displaystyle{ b}\) będzie taką liczbą całkowitą, że \(\displaystyle{ a_1<b< a_2}\), i pokażmy, że: \(\displaystyle{ b \in \left( -A\right)}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in \left( -A\right)}\), to \(\displaystyle{ a_1= -b_1}\), gdzie \(\displaystyle{ b_1 \in A}\); i \(\displaystyle{ a_2= -b_2}\), gdzie \(\displaystyle{ b_2 \in A}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\), to \(\displaystyle{ \left( -b\right)}\) jest również liczbą całkowitą, a ponieważ \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\), to \(\displaystyle{ -a_1> -b> -a_2.}\) A zatem:
\(\displaystyle{ A\ni b_2= - \left( -b_2\right) = -a_2<-b < -a_1= - \left( -b_1\right)= b_1 \in A,}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ \left( -b\right) \in \ZZ}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, więc wnioskujemy, że: \(\displaystyle{ \left( -b\right) \in A}\), a zatem:
\(\displaystyle{ b= -\left( -b\right) \in \left( -A\right)}\), i zbiór \(\displaystyle{ \left( -A\right)}\) jest całkowito-pełny\(\displaystyle{ .\square}\)
Wykażemy jeszcze, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest całkowito-pełny, to przekrój \(\displaystyle{ A \cap \ZZ}\) jest przedziałem w zbiorze liczb całkowitych z naturalnym porządkiem (liniowym).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Aby wykazać, że przekrój \(\displaystyle{ A \cap \ZZ \subset \ZZ}\) jest przedziałem w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le \right)}\), to niech \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A \cap \ZZ}\), i niech \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\) będzie taką liczbą całkowitą, że: \(\displaystyle{ a_1< _{\ZZ} b< _{\ZZ} a_2}\). Pokażemy, że: \(\displaystyle{ b \in A \cap \ZZ.}\)
Mamy \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A}\), \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\) i \(\displaystyle{ A\ni a_1 <b < a_2\in A}\), więc ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b \in A}\); a zatem \(\displaystyle{ b \in A \cap \ZZ}\), i zbiór \(\displaystyle{ A \cap \ZZ}\) jest przedziałem w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le \right).\square}\)
