Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Podaj przykład zbioru \(\displaystyle{ A_{n} \subset \RR^{n} }\) mocy continuum takiego, że dla każdej prostej \(\displaystyle{ l \subset \RR^{n} }\) zbiór \(\displaystyle{ l \cap A_{n} }\) albo jest skończony albo nieskończony i przeliczalny.

Myślałam o zbiorze okręgów o konkretnym promieniu/współrzędnych środka, ale nie wiem, czy to w ogóle ma sens i jak to zapisać poprawnie.

Jeden okrąg jest dobrym przykładem

Trochę dziwnie jest sformułowane to zadanie. W \(\displaystyle{ \RR^2}\) (choć pewnie w \(\displaystyle{ \RR^n}\) jest podobnie) można wzmocnić tezę. Mianowicie istnieje \(\displaystyle{ M\subset \RR^2}\) taki, że dla każdej prostej \(\displaystyle{ \ell}\) mamy \(\displaystyle{ \left| \ell \cap M\right|=2 }\). Zbiór Mazurkiewicza. A ponieważ pęk prostych \(\displaystyle{ \{ax:a\in \RR \}}\) (mocy \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)) przecina się w jednym punkcie to istnieje zbiór \(\displaystyle{ \{x_a \in \RR^2 : a \in \RR \} \subset M}\) mocy \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) tak dobranych \(\displaystyle{ x_a}\), że \(\displaystyle{ M}\) przecina się z \(\displaystyle{ ax}\) między innymi w \(\displaystyle{ x_a}\). Zatem \(\displaystyle{ |M|=\mathfrak{c}}\).