Matematyka.pl

Witam, czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak zrobić to zadanie?

W zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}^4 }\) dana jest relacja równoważności ( w zależności od \(\displaystyle{ \gamma}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) oznacza ostatnią cyfrę numeru albumu). Wyznaczyć jej klasy abstrakcji. Nie trzeba sprawdzać czy relacja jest relacją równoważności.

• \(\displaystyle{ \gamma(\bmod 2) = 0 : x_1 x_2 x_3 x_4 R y_1 y_2 y_3 y_4 \Leftrightarrow x_1 + x_2 = y_1 + y_2 \wedge x_3 + x_4 = y_3 + y_4}\)\(\displaystyle{ \gamma(\bmod 2) = 1 : x_1 x_2 x_3 x_4 R y_1 y_2 y_3 y_4 \Leftrightarrow x_1 + x_3 = y_1 + y_3 \wedge x_2 + x_4 = y_2 + y_4}\)

Dodam, że \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}^4 }\) oznacza zbiór ciągów binarnych długości \(\displaystyle{ 4}\).

Zacząć jak zwykle od zrozumienia, jak działa relacja, czyli kiedy utożsamia dwa ciągi binarne. Rozumiesz to?

JK

PS Wystarczy zająć się pierwszą relacją, z drugą będzie analogicznie.

No właśnie nie do końca to rozumiem, dopiero zaczynam relacje. Napisze jak ja to rozumiem.

Weźmy tę drugą relacje \(\displaystyle{ x_1x_2x_3x_4Ry_1y_2y_3y_4 \Leftrightarrow x_1 + x_3 = y_1 + y_3 \wedge x_2 + x_4 = y_2 + y_4}\)

Wszystkie ciągi binarne długości \(\displaystyle{ 4}\) : \(\displaystyle{ \left\{ 0000,0001,0010,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111\right\}}\)

No i ja rozumiem to tak, klasy abstrakcji mamy takie:

klasa \(\displaystyle{ "0 \wedge 0"}\) (nie wiem jak to dobrze nazwać, sumy pierwszej pozycji z trzecią i drugiej z czwartą):
\(\displaystyle{ 0000}\)
klasa \(\displaystyle{ "0 \wedge 1"}\)
\(\displaystyle{ 0100,0001}\)
klasa \(\displaystyle{ "1 \wedge 0"}\)
\(\displaystyle{ 1000,0010}\)
klasa \(\displaystyle{ "1 \wedge 1"}\)
\(\displaystyle{ 0011,1001,1100,0110}\)
klasa \(\displaystyle{ "2 \wedge 0"}\)
\(\displaystyle{ 1010}\)
klasa \(\displaystyle{ "2 \wedge 1"}\)
\(\displaystyle{ 1011,1110}\)
klasa \(\displaystyle{ "2 \wedge 2"}\)
\(\displaystyle{ 1111}\)
klasa \(\displaystyle{ "0 \wedge 2"}\)
\(\displaystyle{ 0101}\)
klasa \(\displaystyle{ "1 \wedge 2"}\)
\(\displaystyle{ 0111,1101}\)

Czy taki podział tych klas jest dobry, czy głupoty napisałem?

Taki podział jest dobry, ewentualnie można poprawić zapis: klasy abstrakcji to podzbiory zbioru \(\displaystyle{ \{0,1\}^4}\), zatem klasami abstrakcji są zbiory:

\(\displaystyle{ \{0000\},\{0100,0001\},\{1000,0010\}, \{0011,1001,1100,0110\}, \{1010\}, \{1011,1110\}, \{1111\}, \{0101\},\{0111,1101\}.}\)

JK

Dodano po 19 godzinach 48 minutach 1 sekundzie:
Jeszcze jedna kwestia: w kontekście Twojego innego posta (inne-funkcje-ogolne-wlasnosci-f48/funkc ... 56189.html) należałoby zapytać, co tak naprawdę oznacza dodawanie w definicji podanej przez Ciebie relacji równoważności.

Jeśli zwykłe dodawanie, to powyższe rozwiązanie jest dobre. Jeśli dodawanie modulo dwa, to - jak nietrudno zauważyć - będą tylko cztery klasy abstrakcji.

Różnica pomiędzy tym zadaniem a zadaniem z funkcjami jest taka, że w zadaniu z funkcjami dodawanie nie może być zwykłym dodawaniem (więc zapewne jest dodawaniem modulo dwa), a tutaj obie wersje są możliwe.

JK

Czyli finalnie takie będą klasy?
Bo dodawanie \(\displaystyle{ 1+1}\) binarnie daje jeden , więc jakby te wszystkie \(\displaystyle{ "2"}\) wylądują w klasach z jedynkami.
\(\displaystyle{ \left\{ 0000\right\}, \left\{ 0100,0001,0101\right\}, \left\{ 1000,0010,1010\right\}, \left\{ 0011,1001,1100,0110,1011,1110,0111,1101,1111\right\} }\)

glimbo37 pisze: ↑8 sty 2024, o 20:56 Czyli finalnie takie będą klasy?
Bo dodawanie \(\displaystyle{ 1+1}\) binarnie daje jeden ,

No nie, binarnie \(\displaystyle{ 1+1=0.}\)

JK

Ok dobra bo już wszystko mi się pomieszało , czyli \(\displaystyle{ 1 + 1 = 0}\)

Czyli wydaje mi się, że tak :

\(\displaystyle{ \left\{ 0000,1111,0101,1010\right\}, \left\{ 0100,0001,1011,1110\right\}, \left\{ 1000,0010,0111,1101\right\}, \left\{ 0011,1001,1100,0110\right\} }\)

Zgadza się.

JK