Matematyka.pl

Zasada minimum mówi, że w każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.

Zasada maksimum mówi, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ A \subset \NN}\) jest niepusty i ograniczony z góry liczbą \(\displaystyle{ m \in \NN}\), to w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) istnieje liczba największa.

Wywnioskować zasadę minimum z zasady maksimum.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Rozważmy dowolny niepusty podzbiór \(\displaystyle{ B \subseteq \mathbb{N}}\) i niech \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{N}}\) będzie zbiorem ograniczeń dolnych zbioru \(\displaystyle{ B}\). Zastosuj zasadę maksimum do \(\displaystyle{ A}\).

Tak średnio na razie rozumiem, ale dobra próbuję tak: Czy ten zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem WSZYSTKICH ograniczeń dolnych zbioru \(\displaystyle{ B}\)? Zakładam, że tak.
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty bo na pewno \(\displaystyle{ 1 \in A}\) bo \(\displaystyle{ 1}\) jest ograniczeniem dolnym dowolnego podzbioru liczb naturalnych. I ten zbiór jest też ograniczony od góry liczbą \(\displaystyle{ m \in B}\), bo \(\displaystyle{ B}\) jest niepusty. Na bazie tego możemy stwierdzić, że w \(\displaystyle{ A}\) istnieje liczba największa. No dobra, ale co dalej? I teraz bym pewnie jakoś chciał pokazać, że w \(\displaystyle{ B}\) istnieje liczba najmniejsza. Bo to maksimum w \(\displaystyle{ A}\) jest jednocześnie minimum w \(\displaystyle{ B}\), chyba o to chodzi? Ale nie jestem pewien, proszę jeszcze o jakąś pomoc.

Dobrze Ci idzie, jakiej pomocy potrzebujesz?

Aha ok, no dobra, ale jak wykazać, że maksimum w \(\displaystyle{ A}\) jest jednocześnie minimum w \(\displaystyle{ B}\)? Że te zbiory mają niepuste przecięcie?

Niech \(\displaystyle{ a = \max A}\). Chcesz wykazać, że \(\displaystyle{ a \in B}\) i \(\displaystyle{ (\forall b \in B) \, a \le b}\). Spróbuj, to nie jest trudne.

No nie wiem, a to nie wynika po prostu z tego, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), a zatem \(\displaystyle{ \forall b\in B:a\le b}\)? A jak wykazać, że \(\displaystyle{ \exists b \in B:a=b}\)? To się wydaje takie oczywiste dosyć, ale nie wiem jak to uzasadnić?

max123321 pisze: ↑16 sie 2023, o 17:18a to nie wynika po prostu z tego, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), a zatem \(\displaystyle{ \forall b\in B:a\le b}\)?

Wynika.

Gdyby \(\displaystyle{ a \notin B}\), to \(\displaystyle{ a+1}\) byłoby ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), wbrew temu że \(\displaystyle{ a = \max A}\).

Ale hmm, jak tak teraz myślę to chyba tego do końca nie rozumiem, że jak \(\displaystyle{ a\notin B}\) to \(\displaystyle{ a+1}\) byłoby ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\). Dlaczego tak jest? Z tego co rozumiem to skoro \(\displaystyle{ a\notin B}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ a}\) nie jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), a to znaczy, że istnieje element \(\displaystyle{ b}\) taki, że \(\displaystyle{ b<a}\). To nie wiem za bardzo jak z tego wynika, że \(\displaystyle{ a+1}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\). Proszę o jakieś wyjaśnienie.

max123321 pisze: ↑22 gru 2023, o 01:10 Ale hmm, jak tak teraz myślę to chyba tego do końca nie rozumiem, że jak \(\displaystyle{ a\notin B}\) to \(\displaystyle{ a+1}\) byłoby ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\). Dlaczego tak jest?

Wiesz, że \(\displaystyle{ (\forall b\in B)a\le b}\). Gdyby \(\displaystyle{ a\notin B}\), to mielibyśmy \(\displaystyle{ (\forall b\in B)a< b}\) (bo \(\displaystyle{ a}\) jest różne od wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ B}\)), co jest równoważne z \(\displaystyle{ (\forall b\in B)a+1\le b}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ a+1}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B.}\)

JK