Otóż, wyobraźmy sobie wyspę na oceanie, na której znajdują się dwa jeziora ze słodką wodą- jedna woda jest zimna, a druga ciepła. Będziemy teraz przekopywali kanały wodne. W ciągu pierwszej doby przekopiemy kanały z morza i z obu jezior wgłąb wyspy, tak, aby były to kanały 'ślepe' (czyli wydłużone zatoki zbiornika wodnego), i tak, aby te kanały nigdzie nie przecinały się ze sobą, i tak, aby odległość każdego punktu na lądzie od wody oceanu lub od wody obu jezior była mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\) kilometr. Oto ilustracja tej sytuacji:\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\) Podczas połowy następnej doby będziemy dalej przekopywali kanały, tak, aby nadal były one kanałami 'ślepymi', i aby nie stykały się ze sobą, przy czym robimy to teraz tutaj to tak, aby odległość dowolnego punktu na lądzie od każdego z tych trzech kanałów była mniejsza niż \(\displaystyle{ 1/2}\) kilometra. Oto ilustracja tej sytuacji: \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\) Podczas następnej ćwierci doby będziemy dalej przedłużali kanały, tak, aby odległość dowolnego punktu na lądzie od każdego z tych trzech kanałów była mniejsza niż \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) kilometra. Itd. ... W każdym kolejnym kroku kanały stają się coraz to bardziej kręte, coraz to dłuższe. Ponieważ:\(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\ldots=2;}\)
więc po dwóch dobach osiągniemy nieskończoną ilość takich operacji; a ponieważ ciąg:
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{2 ^{n} },}\)
dąży do zera, więc te odległosci punktów na lądzie od dowolnego z tych trzech kanałów zmierzają do zera, więc ta wyspa 'wypełni się' kanałami, nie zawierając żadnego \(\displaystyle{ \hbox{cm} ^{2}}\) powierzchni, czyli nie zawierając, choćby najmniejszego, całego kwadracika lądu (jednak wyspa ta nie musi być zbiorem pustym). I, stojąc w dowolnym punkcie takiej linii Cantora, będziemy mogli zaczerpnąć, wedle uznania, wody morskiej (właśnie, tego nie do końca rozumiem, czyli kanały z morza pewnie również przekopujemy, tylko nie bardzo widzę w jaki sposób można to zrobić, wie ktoś (mniej więcej) jak to zrobić, bo ciężko jest mi to sobie wyobrazić??), ciepłej słodkiej lub zimnej słodkiej. Przy czym, te wszystkie trzy rodzaje wody nie mieszają się ze sobą. Czyż to nie jest zadziwiające
