Matematyka.pl

Hejka, mam problem z następującym zadaniem:

W zbiorze \(\displaystyle{ \{0, 1\}^{4}}\) definiujemy relację:
$$a_1a_2a_3a_4 \ R \ b_1b_2b_3b_4 \Leftrightarrow a_1+a_3=(b_1+b_3)\bmod{2} \wedge a_2+a_4=(b_2+b_4)\bmod2$$
Udowodnij, że \(\displaystyle{ R}\) jest relacją równoważności.

Udało mi się udowodnić, że relacja jest zwrotnia. Lecz mam problem z udowodnieniem tego, że jest symetryczna i przechodnia - nie mam pomysłu jak do tego się zabrać. Zastanawia mnie również to, czy \(\displaystyle{ a_1+a_3}\) i inne sumy mogą wyjść maksymalnie \(\displaystyle{ 1}\) (wydaję się mi, że tak gdyż \(\displaystyle{ a_1a_2a_3a_4}\) i \(\displaystyle{ b_1b_2b_3b_4}\) są ciągami binarnymi i tym bardziej, że \(\displaystyle{ n \bmod{2} \in \{0, 1\}}\))?

Z góry dziękuje za wszelką pomoc i przepraszam jeżeli post jest źle sformatowany, ale jest to mój dopiero drugi wpis na tym forum.

karix_02 pisze: ↑16 lis 2022, o 14:58Lecz mam problem z udowodnieniem tego, że jest symetryczna i przechodnia - nie mam pomysłu jak do tego się zabrać.

Jest symetryczna i przechodnia, bo przystawanie modulo \(\displaystyle{ 2}\) jest symetryczne i przechodnie.

JK

Tylko nadal zastanawiam się nad faktem czy może zajść taka sytuacja, że: \(\displaystyle{ a_1+a_3 = 2}\)? Czy wiedząc, że są to ciągi binarne to przyjumujemy, że \(\displaystyle{ 1+1=1}\)?

karix_02 pisze: ↑16 lis 2022, o 18:34Tylko nadal zastanawiam się nad faktem czy może zajść taka sytuacja, że: \(\displaystyle{ a_1+a_3 = 2}\)?

Oczywiście, dla \(\displaystyle{ a_1=a_3 = 1}\), przecież to zwykłe dodawanie. Za to relacja równoważności jest zdefiniowana poprzez badanie wyników tego dodawania w przystawaniu modulo \(\displaystyle{ 2}\).

karix_02 pisze: ↑16 lis 2022, o 18:34Czy wiedząc, że są to ciągi binarne to przyjumujemy, że \(\displaystyle{ 1+1=1}\)?

A niby dlaczego mielibyśmy przyjmować coś tak dziwnego? Mamy \(\displaystyle{ 1+1=2}\) oraz \(\displaystyle{ 1+1\equiv 0\pmod{2}.}\)

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑16 lis 2022, o 19:31 Oczywiście, dla \(\displaystyle{ a_1=a_3 = 1}\), przecież to zwykłe dodawanie. Za to relacja równoważności jest zdefiniowana poprzez badanie wyników tego dodawania w przystawaniu modulo \(\displaystyle{ 2}\).

W takim razie mam jeden problem:
Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ a_1a_2a_3a_4=1010}\) i \(\displaystyle{ b_1b_2b_3b_4=0000}\) to wtedy:
\(\displaystyle{ a_1+a_3=2}\) i \(\displaystyle{ b_1+b_3 = 0}\), więc prawdziwe jest, że \(\displaystyle{ 2 \equiv 0 \pmod{2}}\), ale już \(\displaystyle{ 2 = 0 \pmod{2}}\) jest sprzecznością i w tym miejscu mam problem jak udowadniać tą równoważność. Czy dobrze to rozumiem, czy jest gdzieś błąd myślowy?

karix_02 pisze: ↑16 lis 2022, o 20:17Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ a_1a_2a_3a_4=1010}\) i \(\displaystyle{ b_1b_2b_3b_4=0000}\) to wtedy:
\(\displaystyle{ a_1+a_3=2}\) i \(\displaystyle{ b_1+b_3 = 0}\), więc prawdziwe jest, że \(\displaystyle{ 2 \equiv 0 \pmod{2}}\), ale już \(\displaystyle{ 2 = 0 \pmod{2}}\) jest sprzecznością i w tym miejscu mam problem jak udowadniać tą równoważność. Czy dobrze to rozumiem, czy jest gdzieś błąd myślowy?

Robisz błąd myślowy wynikający kłopotów zapisem. Po prostu zapis \(\displaystyle{ 2 = 0 \pmod{2}}\) jest czasem pojawiającą się wersją lepszego zapisu \(\displaystyle{ 2 \equiv 0 \pmod{2}}\), ale oba znaczą to samo.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑16 lis 2022, o 20:22 Robisz błąd myślowy wynikający kłopotów zapisem. Po prostu zapis \(\displaystyle{ 2 = 0 \pmod{2}}\) jest czasem pojawiającą się wersją lepszego zapisu \(\displaystyle{ 2 \equiv 0 \pmod{2}}\), ale oba znaczą to samo.

Teraz już wszystko jest jasne jak słońce. Dziękuje bardzo za pomoc