Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(\mathbb{A}) \setminus f( \mathbb{B}) \subseteq f( \mathbb{A} \setminus \mathbb{B})}\)

Mam rozwiązanie ale nie do końca je rozumiem tzn.

\(\displaystyle{ y \in f(\mathbb{A}) \setminus f(\mathbb{B}) \Leftrightarrow y \in f(\mathbb{A}) \wedge \neg y \in f(\mathbb{B}) \Leftrightarrow \exists_{x \in \mathbb{A}} : y = f(x) \wedge \forall_{x \in \mathbb{B} }: y \neq f(x) \Rightarrow (\text{TUTAJ NIE ROZUMIEM TEGO PRZEJŚCIA}) \exists_{x \in \mathbb{A} \setminus \mathbb{B}} : y = f(x) \Leftrightarrow y \in f(\mathbb{A} \setminus \mathbb{B})}\)
Nie rozumiem dlaczego jest \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) a nie \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

"Istnieje" to "exists" \(\displaystyle{ \exists}\), a dla kazdego - "forall" \(\displaystyle{ \forall}\).

Skoro istnieje \(\displaystyle{ x\in A}\) takie, że\(\displaystyle{ y=f(x)}\), to to \(\displaystyle{ x}\) nie może być w \(\displaystyle{ B}\), bo żaden element \(\displaystyle{ B}\) nie przechodzi na \(\displaystyle{ y}\). Zatem \(\displaystyle{ x\in A \setminus B}\).

Dlaczego nie ma równoważności? Ogólnie rzecz biorąc dlatego, że nie masz szans wywnioskować, iż \(\displaystyle{ (\forall z\in B)f(z)\neq y}\). No bo skąd? A konkretnie to pokazujesz kontrprzykład: weź \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) i \(\displaystyle{ A=\{1\}, B=\{-1\}}\).

JK