Matematyka.pl

Dla zbioru \(\displaystyle{ X,}\) wtedy przekątną sześcianu kartezjańskiego \(\displaystyle{ \mathop{\stackrel{3} {P} }_{i=1}\left( X\right) }\) zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. zbiór:
\(\displaystyle{ I _{X} ^{3}= \left\{ \left( x,x,x\right)\Bigl| \ x \in X \right\};}\)
nazwijmy trójidentycznością.
Można łatwo pokazać, że jeśli mamy dwa zbiory, to trójidentyczność na sumie tych dwóch zbiorów jest sumą trójidentyczności; oraz można łatwo pokazać, że trójidentyczność na przekroju dwóch zbiorów jest przekrojem trójidentyczności; a jeszcze prościej jest pokazać, że trójidentyczność na zbiorze większym, pod względem inkluzji, jest większa. Okazuje się, że wtedy można (na mocy powyższych faktów) pokazać, że trójidentyczność na różnicy dwóch zbiorów jest różnicą trójidentyczności, co, w ostatnią sobotę, udowodniłem. Stąd już łatwo wynika, że trójidentyczność na różnicy symetrycznej dwóch zbiorów jest różnicą symetryczną trójidentyczności. Można też łatwo pokazać, że jeśli mamy zbiór, to trójidentyczność na tym zbiorze jest równoliczna z tym zbiorem. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), to można łatwo pokazać, że:

\(\displaystyle{ I ^{3} _{\left( X \cup Y\right) } = I ^{3} _{X} \cup I^{3} _{Y};}\)

tzn. trójidentyczność na sumie tych dwóch zbiorów jest sumą trójidentyczności- można to łatwo udowodnić; oraz można łatwo pokazać, że:

\(\displaystyle{ I _{\left( X \cap Y\right) } ^{3}= I ^{3} _{X} \cap I_{Y} ^{3};}\)

tzn. trójidentyczność na przekroju dwóch zbiorów jest przekrojem trójidentyczności- można to dość łatwo udowodnić.
Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zbiorami, to mamy równość:

\(\displaystyle{ I ^{3} _{\left( X \setminus Y\right) }= \left( I ^{3} _{X} \right) \setminus \left( I ^{3} _{Y} \right);}\)

tzn. trójidentyczność na różnicy dwóch zbiorów jest różnicą trójidentyczności.

Nim to udowodnimy, odnotujmy jeszcze jeden oczywisty fakt, mówiący, że trójidentyczność na zbiorze większym jest większa, tzn.:
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zbiorami, i \(\displaystyle{ X \subset Y}\), to \(\displaystyle{ I _{X} ^{3} \subset I ^{3} _{Y}}\).
Można ten fakt bardzo prosto udowodnić.
Przejdźmy do naszego faktu:
Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą zbiorami.
Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ I _{\left( X \setminus Y\right) } ^{3}= \left( I _{X} ^{3} \right) \setminus \left( I _{Y} ^{3} \right);}\)

tzn. wykażemy, że trójidentyczność na różnicy dwóch zbiorów jest różnicą trójidentyczności.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Zauważmy najpierw, że:

\(\displaystyle{ X= \left( X \setminus Y\right) \cup \left( X \cap Y\right)}\),

gdzie obydwa składniki w nawiasach są zbiorami rozłącznymi.
Ponieważ trójidentyczność na sumie dwóch zbiorów jest sumą trójidentyczności, więc:

\(\displaystyle{ I^{3} _{X}= I ^{3} _{\left[ \left( X \setminus Y\right) \cup \left( X \cap Y\right)\right] } =\left[ I ^{3} _{\left( X \setminus Y\right) } \right] \cup \left[ I _{\left( X \cap Y\right) } ^{3} \right].}\)

Te dwa ostatnie składniki są zbiorami rozłącznymi, gdyż:

\(\displaystyle{ I _{\left( X \setminus Y\right)} ^{3} \cap I _{\left( X \cap Y\right) } ^{3}=}\)

co jest równe, gdyż trójidentyczność na przekroju dwóch zbiorów jest przekrojem trójidentyczności, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ = I ^{3} _{\left[ \left( X \setminus Y\right) \cap \left( X \cap Y\right) \right]} = I ^{3} _{\left\{ \right\} }= \left\{ \right\}}\).

A zatem, zbiory \(\displaystyle{ I _{\left( X \setminus Y\right) } ^{3}}\) i \(\displaystyle{ I _{\left( X \cap Y\right) } ^{3}}\) są rozłączne.
W związku z czym:

\(\displaystyle{ I _{\left( X \setminus Y\right) } ^{3}= \left[ I _{\left( X \setminus Y\right) } ^{3} \cup I ^{3} _{\left( X \cap Y\right)} \right] \setminus I _{\left( X \cap Y\right) } ^{3}= I _{X} ^{3} \setminus\left( I _{\left( X \cap Y\right) } ^{3} \right) = I _{X} ^{3} \setminus \left[ I _{X} ^{3} \cap I _{Y} ^{3} \right]= \left( I _{X} ^{3} \setminus I _{X} ^{3} \right) \cup \left( I _{X} ^{3} \setminus I _{Y} ^{3} \right)= \left\{ \right\} \cup \left( I _{X} ^{3} \setminus I _{Y} ^{3} \right) = I _{X} ^{3} \setminus I _{Y} ^{3}.\square}\)

Wynika stąd łatwo, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zbiorami, to:

\(\displaystyle{ I ^{3} _{\left( X\oplus Y\right) } = I ^{3} _{X} \oplus I ^{3} _{Y};}\)

tzn. trójidentyczność na różnicy symetrycznej dwóch zbiorów jest różnicą symetryczną trójidentyczności- można to łatwo udowodnić.

Zauważmy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, to mamy równoliczność: \(\displaystyle{ I _{X} ^{3}\sim X;}\)
tzn. trójidentyczność na tym zbiorze jest równoliczna z tym zbiorem.

Dla dowodu wystarczy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f}\) działającą w następujący sposób:
\(\displaystyle{ x \in X\stackrel{f}{ \rightarrow } \left( x,x,x\right) \in I ^{3} _{X}, }\)
i łatwo pokazujemy, że jest to funkcja różnowartościowa; i, chyba jeszcze prościej, można pokazać, że jest to funkcja 'na' zbiór \(\displaystyle{ I _{X} ^{3}.}\) Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, i \(\displaystyle{ X\sim I ^{3} _{X}.\square}\)

Na koniec podamy pewną własność relacji trójzwrotnych, które to relacje są związane z trójidentycznością.
Najpierw przypomnijmy:
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ R \subset \mathop{\stackrel{3} {P} }_{i=1}\left( X\right)}\) jest dowolną relacją trójczłonową w tym zbiorze, to relacja \(\displaystyle{ R}\) jest trójzwrotna, gdy dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\), mamy: \(\displaystyle{ \left( x,x,x\right) \in R.}\)
Czyli relacja jest trójzwrotna, gdy każdy element \(\displaystyle{ x \in X}\) jest w relacji z drugim takim samym elementem i trzecim takim samym elementem (wiem, dla Jana Kraszewkiego, to absurd, a dla mnie- nie; nie będę teraz cofał się w rozwoju, wybijając sobie z głowy to, o co nauczyłem się dbać; i nie próbujcie mnie przestawiać- starego dziada się nie przestawia).

Wykażemy teraz wspomniany fakt:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ R \subset \mathop{\stackrel{3} {P} }_{i=1}\left( X\right) }\) niech będzie dowolną relacją trójczłonową w tym zbiorze. Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ R \hbox{ jest relacją trójzwrotną} \Longleftrightarrow R\supset I_X ^{3},}\)

czyli relacja jest trójzwrotna, gdy zawiera trójidentyczność. Wynika stąd, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ R \subset \mathop{\stackrel{3} {P} }_{i=1}\left( X\right) }\) jest relacją trójczłonową w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), będącą relacją trójzwrotną, to każda relacja \(\displaystyle{ S \subset \mathop{\stackrel{3} {P} }_{i=1}\left( X\right)}\), taka, że \(\displaystyle{ S\supset R}\) jest relacją trójzwrotną;
czyli każda relacja działająca pomiędzy tymi samymi zbiorami, co relacja trójzwrotna \(\displaystyle{ R}\), będąca nadzbiorem tej relacji trójzwrotnej \(\displaystyle{ R}\), jest relacją trójzwrotną- możemy, na mocy powyższej charakteryzacji, i na mocy przechodniości inkluzji, ten fakt łatwo udowodnić.
Wynika stąd, że suma dwóch relacji \(\displaystyle{ R,S \subset \mathop{\stackrel{3} {P} }_{i=1}\left( X\right)}\) trójzwrotnych jest relacją trójzwrotną.
Można też łatwo pokazać, że przekrój dwóch relacji trójzwrotnych jest relacją trójzwrotną.
Wykażemy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ R \subset\mathop{\stackrel{3} {P} }_{i=1}\left( X\right)}\) jest relacją trójzwrotną w tym zbiorze, to:

\(\displaystyle{ D _{1} \left( R\right) = X= D_2\left( R\right) = D_3 \left( R\right) ,}\)

czyli zarówno pierwsza dziedzina tej relacji \(\displaystyle{ R}\), jak i jej druga dziedzina, jak i jej trzecia dziedzina, są równe całemu zbiorowi \(\displaystyle{ X}\).

Aby to udowodnić, podajmy najpierw pewien Lemat, który tutaj wykorzystamy :
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) i \(\displaystyle{ X_3}\) są zbiorami, to rozważmy kostkę \(\displaystyle{ \mathop{\stackrel{3} {P} }_{i=1}\left( X_i\right).}\)
Rozważmy dwie relacje trójczłonowe \(\displaystyle{ R,S \subset \mathop{\stackrel{3} {P} }_{i=1}\left( X_i\right)}\), takie, że \(\displaystyle{ R \subset S}\).
Wtedy:

1): \(\displaystyle{ D_1\left( R\right) \subset D_1\left( S\right) ;}\)
2): \(\displaystyle{ D_2\left( R\right) \subset D_2\left( S\right) ;}\)
3): \(\displaystyle{ D_3\left( R\right) \subset D_3\left( S\right) .}\) Przejdźmy do dowodu naszego faktu (zachowując wprowadzone tam oznaczenia):

DOWÓD TEGO FAKTU:

Łatwo jest zauważyć, że: \(\displaystyle{ D_1\left( I_{X} ^{3} \right) =X= D_2\left( I _{X} ^{3} \right) = D_3\left( I_{X} ^{3} \right),}\)

a ponieważ relacja \(\displaystyle{ R}\) jest trójzwrotna, więc \(\displaystyle{ R\supset I _{X} ^{3},}\) a zatem, na mocy powyższego Lematu :

\(\displaystyle{ D_1\left( R\right) \supset D_1\left( I _{X} ^{3} \right) =X,}\)

czyli \(\displaystyle{ D_1\left( R\right) \supset X,}\) i stąd \(\displaystyle{ D_1\left( R\right) =X.}\)

Podobnie, na mocy naszego Lematu: \(\displaystyle{ D_2\left( R\right) \supset D_2\left( I _{X} ^{3} \right)=X,}\) i \(\displaystyle{ D_2\left( R\right) =X;}\)

i w podobny sposób uzasadniamy, że \(\displaystyle{ D_3\left( R\right) =X.\square}\)

Na koniec dodajmy tutaj jeden prosty fakt:
Dla zbioru \(\displaystyle{ X}\), oraz dla trójidentyczności \(\displaystyle{ I_X ^{3}}\), oraz dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\), mamy:

\(\displaystyle{ I _{X} ^{3} \cap \left( A ^{3}= \stackrel{3}{\mathop{P}_{i=1}} \left( A\right) \right)= I _{A} ^{3};}\)
czyli trójidentyczność zbudowana na całym zbiorze \(\displaystyle{ X}\) przekrojona z sześcianem kartezjańskim zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest równa trójidentyczności na tym podzbiorze \(\displaystyle{ A}\). Np. dla \(\displaystyle{ X=\RR}\), oraz dla przedziału domkniętego \(\displaystyle{ A}\) (o dodatniej długości), wtedy przekątna przestrzeni trójwymiarowej przekrojona z sześcianem kartezjańskim tego przedziału jest przekątną tego sześcianu. Również, i w ogólności, można ten fakt łatwo udowodnić.

Jakub Gurak pisze: ↑5 lut 2024, o 17:50Czyli relacja jest trójzwrotna, gdy każdy element \(\displaystyle{ x \in X}\) jest w relacji z drugim takim samym elementem i trzecim takim samym elementem (wiem, dla Jana Kraszewkiego, to absurd, a dla mnie- nie; nie będę teraz cofał się w rozwoju, wybijając sobie z głowy to, o co nauczyłem się dbać; i nie próbujcie mnie przestawiać- starego dziada się nie przestawia).

Parafrazując tytuł pewnego filmu: Jakub Gurak kontra świat...

Ależ podążaj sobie w swoim rozwoju, przed Tobą rozległe manowce. Nie wątpię, że wkrótce odkryjesz relację czterozwrotną (a kto wie - może i pięciozwrotną?) i udowodnisz jej - jakże oczywiście ciekawe - własności (w tym związek z czteroidentycznością). Ale dlaczego nie posłuchasz dobrych rad i nie założysz swojego bloga, gdzie będziesz mógł się tym dzielić, zamiast spamować to forum tymi trywialnymi faktami?

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑5 lut 2024, o 18:46 Ale dlaczego nie posłuchasz dobrych rad i nie założysz swojego bloga, gdzie będziesz mógł się tym dzielić, zamiast spamować to forum tymi trywialnymi faktami?

JK

Pewnie dlatego, że KG nie czyta co inni piszą. Gdyby czytał i pamietał co czyta, to by wiedział, że te jego rewelacyjne odkrycia to rzeczy znane od zawsze.

Ale dlaczego nie posłuchasz dobrych rad i nie założysz swojego bloga, gdzie będziesz mógł się tym dzielić

Pomysł, ten z początku nawet mi się podobał, ale po przemyśleniu stwierdziłem, że na prywatnym blogu jego audyt będzie Jakub oraz jego otoczenie,
w którym może np. nikogo nie być a tu na forum ma szeroki audyt z całej Polski więc można się zawsze dobrze zaprezentować, na bezludnej wyspie nawet największy geniusz jest słabo słyszalny a tu jednak zdobywa sławę i popularność...To moje skromne zdanie...

Powiem jeszcze tak wystąpienia na prywatnym blogu może to być głos wołającego na pustyni a wypowiedzi na forum to kazanie na górze...

Jan Kraszewski pisze: ↑5 lut 2024, o 18:46 Nie wątpię, że wkrótce odkryjesz relację czterozwrotną (a kto wie - może i pięciozwrotną?) i udowodnisz jej - jakże oczywiście ciekawe - własności (w tym związek z czteroidentycznością).

W przestrzenie czterowymiarowe nie wchodzę... Może tylko wyznaczę punkty stałe dla funkcji \(\displaystyle{ f:\RR ^{n} \rightarrow \RR ^{n}, }\) danej jako: \(\displaystyle{ f\left( x _{1};x _{2},\ldots, x _{n} \right) = \left( -x _{1}, -x _{2}, \ldots, - x _{n} \right). }\) Podejrzewam, że tutaj punktem stałym będzie tylko \(\displaystyle{ \textbf{0}= \left( \underbrace{0,0, \ldots,0}_{n \hbox{ zer} }\right). }\)
Wysyłając post zacząłem się zastanawiać co tu Jan Kraszewski może odpisać, jak on to może rozwiązać. Ale dopiero wysyłając post, coś zaświtało mi, że funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow I ^{3} _{X} }\), dana jako: \(\displaystyle{ f\left( x\right)=\left( x,x,x\right);}\) jest bijekcją; a dla bijekcji obraz przekroju dwóch podzbiorów dziedziny funkcji jest równy przekrojowi ich obrazów, może w ten sposób I może podobnie warto tu skorzystać z faktu dla obrazu różnicy dwóch zbiorów przez bijekcję, oraz z faktu dla obrazu różnicy symetrycznej dwóch zbiorów przez bijekcję; może w ten sposób

Jan Kraszewski pisze: ↑5 lut 2024, o 18:46 zamiast spamować to forum tymi trywialnymi faktami?

Chyba po prostu nie zdawałem sobie tutaj sprawy, czy to ma być takie całkiem oczywiste... a udowodniłem ten fakt z różnicą, korzystając tutaj tylko z podobnych dwóch faktów dla sumy i dla przekroju- myślałem, że będzie to przynajmniej trochę wartościowe (choć analogiczne do udowodnionego faktu dla zwykłej identyczności na różnicy dwóch zbiorów)... Zresztą, wiele dowodów w tym moim ostatnim poście to sobie już darowałem...

Jakub Gurak pisze: ↑6 lut 2024, o 14:40W przestrzenie czterowymiarowe nie wchodzę...

Jeżeli nie zorientowałeś się - to była ironia. Takie "ciekawe twierdzenia" można produkować automatycznie, czterowymiarowość nie ma tu nic do rzeczy.

Jakub Gurak pisze: ↑6 lut 2024, o 14:40Może tylko wyznaczę punkty stałe dla funkcji \(\displaystyle{ f:\RR ^{n} \rightarrow \RR ^{n}, }\) danej jako: \(\displaystyle{ f\left( x _{1};x _{2},\ldots, x _{n} \right) = \left( -x _{1}, -x _{2}, \ldots, - x _{n} \right). }\) Podejrzewam, że tutaj punktem stałym będzie tylko \(\displaystyle{ \textbf{0}= \left( \underbrace{0,0, \ldots,0}_{n \hbox{ zer} }\right). }\)

Podejrzewasz? Ja myślę, że to jednak trochę wstyd tylko podejrzewać, jakie jest rozwiązanie równania \(\displaystyle{ \left( x _{1};x _{2},\ldots, x _{n} \right) = \left( -x _{1}, -x _{2}, \ldots, - x _{n} \right).}\)

Jakub Gurak pisze: ↑6 lut 2024, o 14:40Wysyłając post zacząłem się zastanawiać co tu Jan Kraszewski może odpisać, jak on to może rozwiązać.

Ale co rozwiązać? Powyższe równanie? Przecież tu nie ma nic do rozwiązywania.

Jakub Gurak pisze: ↑6 lut 2024, o 14:40Ale dopiero wysyłając post, coś zaświtało mi, że funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow I ^{3} _{X} }\), dana jako: \(\displaystyle{ f\left( x\right)=\left( x,x,x\right);}\) jest bijekcją; a dla bijekcji obraz przekroju dwóch podzbiorów dziedziny funkcji jest równy przekrojowi ich obrazów, może w ten sposób I może podobnie warto tu skorzystać z faktu dla obrazu różnicy dwóch zbiorów przez bijekcję, oraz z faktu dla obrazu różnicy symetrycznej dwóch zbiorów przez bijekcję; może w ten sposób

Ale do czego to wszystko ma się odnosić?!

Jakub Gurak pisze: ↑6 lut 2024, o 14:40Chyba po prostu nie zdawałem sobie tutaj sprawy, czy to ma być takie całkiem oczywiste...

Z zadziwiająco wielu rzeczy nie zdajesz sobie sprawy.

Jakub Gurak pisze: ↑6 lut 2024, o 14:40Zresztą, wiele dowodów w tym moim ostatnim poście to sobie już darowałem...

Cały post mogłeś sobie darować.

JK

Chodziło mi o te rozdzielności, trójidentyczność na sumie dwóch zbiorów jest sumą trójidentyczności- itd. Czy tutaj korzysta się z tego, że dla funkcji między zbiorami, dla dwóch podzbiorów dziedziny funkcji obraz sumy tych dwóch podzbiorów jest równy sumie ich obrazów, w ten sposób
A w pozostałych przypadkach korzystamy z tego, że jest to bijekcja, więc wtedy np. obraz różnicy symetrycznej dwóch podzbiorów dziedziny funkcji jest różnicą symetryczną obrazów, czy można ten fakt użyć do faktu z trójidentycznością na różnicy symetrycznej dwóch zbiorów?? A dla faktu z trójidentycznoscią na różnicy dwóch zbiorów czy mam tu wykorzystać fakt, mówiący, że dla bijekcji obraz różnicy dwóch zbiorów jest różnicą obrazów, w ten sposób

Jakub Gurak pisze: ↑6 lut 2024, o 22:37 Chodziło mi o te rozdzielności, trójidentyczność na sumie dwóch zbiorów jest sumą trójidentyczności- itd. Czy tutaj korzysta się z tego, że dla funkcji między zbiorami, dla dwóch podzbiorów dziedziny funkcji obraz sumy tych dwóch podzbiorów jest równy sumie ich obrazów, w ten sposób

Z niczego nie korzystasz poza Zasadą ekstensjonalności i podstawowymi własnościami działań na zbiorach. Dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) masz

\(\displaystyle{ (x,x,x)\in I^3_{X\cup Y}\iff x\in X\cup Y\iff x\in X\lor x\in Y\iff(x,x,x)\in I^3_X\lor (x,x,x)\in I^3_Y\iff(x,x,x)\in I^3_X\cup I^3_Y, }\)

z pozostałymi podobnie. Co - jak widać - jest trywialne.

JK