Matematyka.pl

Jakub Gurak pisze: ↑16 maja 2023, o 16:42jeżeli okrąg na płaszczyźnie o danym środku i o dodatnim promieniu, podzielimy na trzy równe łuki (o mierze kąta \(\displaystyle{ 120 ^{\circ} }\)), to będą one zbiorami równolicznymi.

No cóż, gdybyś podzielił na trzy (bądź skończenie wiele) zupełnie dowolne łuki, to one też będą zbiorami równolicznymi... Dowód tego faktu (a tak naprawdę dowód faktu, że dowolny łuk jest mocy continuum) nie wymaga żadnych wzorów i zajmuje ze dwie-trzy linijki.

JK

Bo jest bijekcja między odcinkiem a lukiem W ten sposób?
A, już wiem (nie do końca to widziałem )- wystarczy podzielić łuk na dwie części przez poziomą średnicę okręgu którego rozważamy łuk (jeśli jest to możliwe), i górną część łuku zrzutować na oś \(\displaystyle{ x}\) otrzymując funkcję różnowartościową z takiego odcinka w nasz łuk. A zatem nasz łuk ma moc co najmniej continuum, a jest podzbiorem płaszczyzny, mocy continuum, i na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina ten łuk ma moc continuum, dobrze

Po co dzielić? Wystarczy zrzutować łuk na oś, w ten sposób dostajemy surjekcję z łuku na przedział, co wystarcza do oszacowania z dołu.

JK

A gdybyś kiedyś uważał na analizie, to byś słyszał np. o parametryzacjach krzywej albo o współrzędnych biegunowych.

Analogicznie do zadania z ważniaka:

Czy na płaszczyźnie istnieje okrąg, taki, że każdy jego punkt ma przynajmniej jedną współrzędną niewymierną,

Wczoraj postawiłem analogiczne pytanie dla elipsy, i udowodniłem wczoraj, że:

Dla dowolnego ustalonego rzędu kształtu elipsy \(\displaystyle{ k \in \RR_+}\), istnieje elipsa, o rzędzie kształtu równym \(\displaystyle{ k}\), taka, że każdy jej punkt ma przynajmniej jedną współrzędną niewymierną.

Udowodniłem też wczoraj, że istnieje sfera \(\displaystyle{ S \subset \RR^3}\), taka, że każdy jej punkt ma przynajmniej jedną współrzędną niewymierną.

Przedstawię teraz dowody tych formalnych faktów (nie dam rady ich zilustrować, bo są to teoretyczne rozumowania nie wprost- ale jest to prosta (w miarę) logika).


Wpierw, dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b \in \RR_+,}\) rozważmy elipsę:

\(\displaystyle{ S _{\left( a,b\right) } = \left\{ \left( x,y\right) \in \RR^2: \ \ \frac{x ^{2} }{a ^{2} }+ \frac{y^2}{b^2}=1 \right\},}\)

i wartość:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=:k}\), nazwijmy rzędem kształtu elipsy.

Niech \(\displaystyle{ k \in \RR_+.}\)

Wykażemy, że istnieje elipsa \(\displaystyle{ S \subset \RR^2}\) o rzędzie kształtu równym \(\displaystyle{ k}\), taka, że każdy jej punkt ma przynajmniej jedną współrzędną niewymierną.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Przypuśćmy nie wprost, że każda elipsa o rzędzie kształtu równym \(\displaystyle{ k}\) nie spełnia tego warunku, i doprowadźmy rozumowanie do sprzeczności.

Jeśli każda elipsa o rzędzie kształtu \(\displaystyle{ k}\) nie spełnia tego warunku, to dla każdej takiej elipsy nie każdy jej punkt ma przynajmniej jedną współrzędną niewymierną, a więc taka elipsa ma punkt, który nie ma ani jednej współrzędnej niewymiernej, czyli obie współrzędne muszą być wymierne.

Czyli każda elipsa, o rzędzie kształtu \(\displaystyle{ k,}\) ma punkt o obu współrzędnych wymiernych.

Rozważmy rodzinę elips:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ S_{\left( k \cdot a,a\right)}\Bigl| \ \ a \in \RR_+ \right\}.}\)

Są to elipsy o środku w początku układu i o rzędzie kształtu \(\displaystyle{ k}\); gdyż ten rząd kształtu jest równy:

\(\displaystyle{ \frac{ka}{a}=k.}\)

I przypisujemy:

\(\displaystyle{ a \in \RR_+ \stackrel{f} { \rightarrow } S _{\left( ka,a\right) } \stackrel{g}{ \rightarrow } P_S \in S _{\left( ka,a\right) } \cap \QQ \times \QQ.}\)

Łatwo jest pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa. Łatwo jest pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) działająca:

\(\displaystyle{ S _{\left( ka,a\right) } \stackrel{g}{ \rightarrow } P_S \in S _{\left( ka,a\right) } \cap \QQ \times \QQ,}\)

jest dobrze określoną funkcją różnowartościową.

Aby wykazać, że jest to dobrze określona funkcja:

Wystarczy dobrze uporządkować zbiór \(\displaystyle{ \QQ \times \QQ\sim \NN}\) (bez aksjomatu wyboru);

i, dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ a \in \RR_+,}\) rozważyć zbiór:

\(\displaystyle{ X_S= \left\{ P \in \QQ \times \QQ: \ \ P \in S _{\left( ka,a\right) } \right\} \neq \left\{ \right\}}\),

jest to zbiór niepusty, bo wiemy, że każda elipsa, o rzędzie kształtu \(\displaystyle{ k}\), ma punkt o obu współrzędnych wymiernych, a więc zbiór \(\displaystyle{ X_S}\) jest niepusty.

I jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \QQ \times \QQ}\), a jest to zbiór dobrze uporządkowany, a więc, z definicji zbioru dobrze uporządkowanego, wynika, że zbiór \(\displaystyle{ X_S}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ P_S}\). Wtedy \(\displaystyle{ P_S \in X_S}\), a zatem, z definicji zbioru \(\displaystyle{ X_S}\): \(\displaystyle{ P_S \in S _{\left( ka,a\right)} }\), i \(\displaystyle{ P_S \in \QQ \times \QQ}\),

i funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest dobrze określona.

Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych, a elipsie z tej rodziny przypisujemy punkt tej elipsy, to taka funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie może dwóm różnym elipsom z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) przypisywać tego samego punktu, a więc jest to funkcja różnowartościowa.

A zatem funkcja \(\displaystyle{ h,}\) działająca w poniższy sposób:

\(\displaystyle{ a \in \RR_{+} \stackrel{h}{ \rightarrow } P_S \in \QQ \times \QQ}\),

będąca złożeniem funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\), więc, jako złożenie dwóch funkcji różnowartościowych, jest funkcją różnowartościową.

A zatem:

\(\displaystyle{ \left| \RR_+\right| \le \left| \QQ \times \QQ\right| =\left| \NN\right| }\),

czyli zbiór liczb dodatnich jest co najwyżej przeliczalny, a zatem, również odcinek otwarty \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\), jako podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego, jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, a wiemy, że jest nieprzeliczalny- sprzeczność. \(\displaystyle{ \square}\)


Wykażemy podobnie, że istnieje sfera \(\displaystyle{ S \subset \RR^3}\), taka, że każdy jej punkt ma przynajmniej jedną współrzędną niewymierną.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Przypuśćmy nie wprost, że każda sfera \(\displaystyle{ S \subset \RR^3}\) nie spełnia naszego warunku, i doprowadźmy rozumowanie do sprzeczności.

Jeśli każda sfera \(\displaystyle{ S \subset \RR^3}\) nie spełnia tego warunku, to każda taka sfera ma punkt, który nie ma ani jednej współrzędnej niewymiernej, czyli wszystkie trzy współrzędne są wymierne.

Czyli każda sfera \(\displaystyle{ S \subset \RR^3}\) ma punkt \(\displaystyle{ P_S \in S}\) mający wszystkie trzy współrzędne wymierne.

Rozważmy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) wszystkich sfer o środku w początku układu i o dodatnich promieniach.

I,wtedy, przypisujemy:

\(\displaystyle{ R \in \RR_+ \rightarrow S_R \in \mathbb{B} \rightarrow P_S \in S_R}\),

tzn. najpierw liczbie dodatniej \(\displaystyle{ R}\) przypisujemy sferę \(\displaystyle{ S_R}\) o promieniu \(\displaystyle{ R}\), a następnie takiej sferze przypisujemy punkt \(\displaystyle{ P_S \in S_R}\) o wszystkich trzech współrzędnych wymiernych.

Taka funkcja: \(\displaystyle{ S_R \in \mathbb{B} \rightarrow P_S \in S_R}\), jest dobrze określona, gdyż: I funkcja \(\displaystyle{ g:\mathbb{B} \rightarrow \QQ \times \QQ \times \QQ,}\) jest dobrze określona.

Oczywiście funkcja \(\displaystyle{ f}\), działająca w poniższy sposób:

\(\displaystyle{ R \in \RR_+\stackrel{f}{ \rightarrow } S_R \in \mathbb{B},}\)

jest różnowartościowa, bo środek sfery i promień dodatni, wyznaczają tą sferę.

Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych, a funkcja \(\displaystyle{ g}\) sferze przypisuje jej punkt, to taka funkcja nie może dwóm różnym sferom przypisywać tego samego punktu, a więc jest to funkcja różnowartościowa.

A zatem funkcja \(\displaystyle{ h=g\circ f}\), jako złożenie dwóch funkcji różnowartościowych, jest funkcją różnowartościową.

A zatem:

\(\displaystyle{ \left| \RR_+\right| \le \left| \QQ \times \QQ \times \QQ\right|=\left| \NN\right| }\),

a zatem:

\(\displaystyle{ \left| \RR\right|= \left| \RR_+\right| \le \left| \NN\right|}\),

czyli:

\(\displaystyle{ \left| \RR\right| \le \left| \NN\right|}\)- sprzeczność\(\displaystyle{ .\square}\)

Pokazałem też kiedyś (musiałbym poszukać gdzie), że dla trzech liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\) istnieje elipsoida o kształcie wyznaczonym przez \(\displaystyle{ \left( a,b,c\right), }\) taka, że każdy jej punkt ma przynajmniej jedną współrzędną niewymierną.
Wykazałem w dzisiejszy popołudnie, że wszystkich funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f:\RR \times \RR \rightarrow \RR}\) (czyli, patrząc w uproszczeniu na takie funkcje ciągłe, jako na powierzchnie) wszystkich takich powierzchni jest continuum. Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.

Niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ f:\RR \times \RR \rightarrow \RR\Bigl| \ \ f \hbox{ jest ciągła}\right\};}\)
i pytamy o moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\).
Wykażemy, że ta rodzina jest mocy continuum.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Przypomnijmy najpierw, że wszystkich funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest continuum, a zatem:
\(\displaystyle{ \mathbb{S}= \left\{ f:\RR \rightarrow \RR\Bigl| \ f \hbox{ jest ciągła}\right\}\sim \RR.}\)
Definiujemy funkcję:
\(\displaystyle{ \alpha :\mathbb{B} \rightarrow \RR \times \mathbb{S},}\) w następujący sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ f:\RR \times \RR \rightarrow \RR}\) jest funkcją ciągłą, i jeśli \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to wiemy z topologii ( o ile dobrze pamiętam), że rzutowanie \(\displaystyle{ f_x}\), tzn. funkcja obcięta \(\displaystyle{ f _{| \left( \left\{ x\right\} \times \RR\right) }}\) jest funkcją ciągłą, a zatem \(\displaystyle{ f_x \in \mathbb{S}}\), i \(\displaystyle{ \left( x, f _{x} \right) \in \RR \times \mathbb{S}}\), i funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dobrze określona.
I jest to funkcja różnowartościowa, bo jeśli \(\displaystyle{ f_1,f_2 \in \mathbb{B}}\) są różnymi funkcjami, to ponieważ \(\displaystyle{ f_1, f_2: \RR \times \RR \rightarrow \RR}\), to dla pewnej pary \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \RR}\), mamy: \(\displaystyle{ f_1\left( x,y\right) \neq f_2\left( x,y\right)}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( \left( f_1\right) _x\right)\left( y\right)= f_1\left( x,y\right) \neq f_2\left( x,y\right) = \left( \left( f_2\right) _{x} \right) \left( y\right)}\) , a zatem \(\displaystyle{ \left( f_1\right) _{x} \neq \left( f_2\right) _{x}}\), i \(\displaystyle{ \alpha \left( f_1\right) = \left( x,\left( f_1\right)_x \right) \neq \left( x, \left( f_2\right)x \right)= \alpha \left( f_2\right)}\), i funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
A zatem: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le \left| \RR \times \mathbb{S}\right|= \left| \RR \times \RR\right| = \left| \RR\right|.}\)
Ale \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| \RR\right|}\), gdyż wystarczy rozważyć wszystkie funkcje stałe (są to funkcję ciągłe, bo jeśli \(\displaystyle{ a \in \RR}\), i \(\displaystyle{ f_a:\RR \times \RR \rightarrow \RR}\) jest funkcją stałą, stale równą \(\displaystyle{ a}\), to jest to funkcja ciągła, bo jeśli ciąg \(\displaystyle{ \left( x_n, y_n\right) _{n \in \NN}}\) punktów płaszczyzny jest zbieżny do punktu \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \RR ^{2}}\), to ciąg \(\displaystyle{ g:\NN \rightarrow \RR}\), dany jako: \(\displaystyle{ g _{n}= f_a\left( x_n, y_n\right)=a}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ a= f_a\left( x,y\right)}\), a zatem, na mocy definicji Heinego ciągłości funkcji, jest to funkcja ciągła), a zatem \(\displaystyle{ f_a \in \mathbb{B}}\), a stąd łatwo jest pokazać, że \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| \RR\right|}\), i ponieważ mamy \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le \left| \RR\right|}\), więc na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \mathbb{B}\sim \RR.\square}\)

Dodam tutaj jeszcze jeden fakt:
Podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) prostej nazwiemy całkowito-pełnym, gdy pomiędzy dwoma elementami \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A}\) każda pośrednia liczba całkowita \(\displaystyle{ b}\), (tzn. taka liczba całkowita \(\displaystyle{ b}\), że: \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\)) należy do \(\displaystyle{ A}\).
Zbadamy moc rodziny wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) całkowito-pełnych.
Niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ \mathbb{A} \subset \RR\Bigl| \ \ A \hbox{ jest całkowito-pełny}\right\} ;}\)
i pytamy o moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\).
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| = 2 ^{\left| \RR\right| }.}\)
Oto:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ A \subset \left( 0,1\right) \subset \RR.}\)
Wtedy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, bo jeśli \(\displaystyle{ a_1,a_2 \in A}\) i \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\), to nie może być \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\), (bo wtedy byłoby \(\displaystyle{ 0<b<1}\), a \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\)), więc warunek będzie tutaj pusto spełniony (a więc formalnie będzie spełniony), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, i \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\), a zatem \(\displaystyle{ \mathbb{B}\supset P\left( \left( 0,1\right) \right)}\) , i \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| P\left( \left( 0,1\right) \right) \right|= \left| P\left( \RR\right) \right|= \left| 2 ^{\RR} \right|}\).
Ale \(\displaystyle{ \mathbb{B} \subset P\left( \RR\right) \sim 2 ^{\RR}}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le \left| 2 ^{\RR} \right|}\), i na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| =2 ^{\left| \RR\right| }.\square}\)
Interesuje mnie teraz czy różnica i przekrój (bo suma na pewno tego nie spełnia) dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) całkowito-pełnych jest zbiorem całkowito-pełnym.

Funkcji ciągłych \(\displaystyle{ \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R}\) jest co najmniej continuum, bo tyle jest funkcji stałych (po jednej dla każdej liczby rzeczywistej).

Funkcji ciągłych \(\displaystyle{ \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R}\) jest co najwyżej continuum, bo tyle jest funkcji \(\displaystyle{ \mathbb Q \times \mathbb Q \to \mathbb R}\) (tzn. \(\displaystyle{ \mathfrak{c}^{\aleph_0 \times \aleph_0} = \mathfrak{c}}\)), a każda ciągła funkcja jest wyznaczona przez swoje wartości na ośrodku.

Why waste time say lot word when few word do trick...

Hir pisze: ↑18 mar 2024, o 23:10Why waste time say lot word when few word do trick...

JG programowo nie uznaje tej zasady...

JK

Co więcej, ten dowód jest zupełnie bez sensu:

Jakub Gurak pisze: ↑18 mar 2024, o 22:52Definiujemy funkcję:
\(\displaystyle{ \alpha :\mathbb{B} \rightarrow \RR \times \mathbb{S},}\) w następujący sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ f:\RR \times \RR \rightarrow \RR}\) jest funkcją ciągłą, i jeśli \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to wiemy z topologii ( o ile dobrze pamiętam), że rzutowanie \(\displaystyle{ f_x}\), tzn. funkcja obcięta \(\displaystyle{ f _{| \left( \left\{ x\right\} \times \RR\right) }}\) jest funkcją ciągłą, a zatem \(\displaystyle{ f_x \in \mathbb{S}}\), i \(\displaystyle{ \left( x, f _{x} \right) \in \RR \times \mathbb{S}}\), i funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dobrze określona.

To nie jest poprawna definicja funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{B} \to \mathbb{R} \times \mathbb{S}}\). W ten sposób da się co najwyżej zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ \mathbb{B} \to \mathbb{S}^{\mathbb{R}}}\), ale to i tak bezowocne podejście (bo nie uwzględnia, że funkcje są ciągłe względem obu zmiennych, więc siłą rzeczy ograniczenie z góry wychodzi \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\)).

To jak funkcji \(\displaystyle{ \RR \times \RR \rightarrow \RR}\) ciągłej przypisać parę funkcji ciągłych z \(\displaystyle{ \RR }\) do \(\displaystyle{ \RR}\) Czy może trzeba uzasadnić to inaczej??

Hir pisze: ↑18 mar 2024, o 23:10Funkcji ciągłych \(\displaystyle{ \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R}\) jest co najwyżej continuum, bo tyle jest funkcji \(\displaystyle{ \mathbb Q \times \mathbb Q \to \mathbb R}\) (tzn. \(\displaystyle{ \mathfrak{c}^{\aleph_0 \times \aleph_0} = \mathfrak{c}}\)), a każda ciągła funkcja jest wyznaczona przez swoje wartości na ośrodku.

Słyszałem te gadki nie raz, ale... szczerze mówiąc, to... nie rozumiem nawet ich sensu. Co to znaczy (wiem chyba co to jest ośrodek), ale... co to znaczy, że funkcja ciągła \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest wyznaczona przez swoje obcięcie do zbioru liczb wymiernych Rozumiem proces odwrotny- nawet każda funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y,}\) oraz podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) wyznacza funkcję obciętą \(\displaystyle{ f _{|A}: A \rightarrow Y }\) (tzn. jest to dokładnie jedna, dobrze określona funkcja), ale co to znaczy to odwrotne sformułowanie Przecież jak mamy funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR,}\) to możemy ją obciąć do zbioru \(\displaystyle{ \QQ}\), ale nie rozumiem jak cokolwiek może wyznaczać funkcję \(\displaystyle{ f}\)- przecież ona jest z założenia dana, więc co może ją tutaj wyznaczać Można jaśniej?? Jestem logik.

Ośrodek to taki podzbiór przestrzeni topologicznej, który ma niepusty przekrój z każdym otwartym (niepustym) jej podzbiorem.

Zaczynając od funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f \colon \mathbb Q \to \mathbb R}\) (przy czym na zbiorze liczb wymiernych mamy topologię podprzestrzeni) możesz zdefiniować jej przedłużenie \(\displaystyle{ f \colon \mathbb R \to \mathbb R}\) wzorem

\(\displaystyle{ f(x) = \lim_{n \to \infty} f(x_n)}\),

gdzie \(\displaystyle{ x_n}\) jest dowolnym ciągiem zbieżnym do \(\displaystyle{ x}\). To przedłużenie jest jedyną ciągłą funkcją, która obcięta jeszcze raz do zbioru liczb wymiernych da nam wyjściową.

Jakub Gurak pisze: ↑19 mar 2024, o 15:02 Jestem logik.

Nie jesteś logik. Jesteś niedouczonym magistrem matematyki.

Hir pisze: ↑19 mar 2024, o 15:44 Ośrodek to taki podzbiór przestrzeni topologicznej, który ma niepusty przekrój z każdym otwartym (niepustym) jej podzbiorem.

Zaczynając od funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f \colon \mathbb Q \to \mathbb R}\) (przy czym na zbiorze liczb wymiernych mamy topologię podprzestrzeni) możesz zdefiniować jej przedłużenie \(\displaystyle{ f \colon \mathbb R \to \mathbb R}\) wzorem

\(\displaystyle{ f(x) = \lim_{n \to \infty} f(x_n)}\),

gdzie \(\displaystyle{ x_n}\) jest dowolnym ciągiem zbieżnym do \(\displaystyle{ x}\). To przedłużenie jest jedyną ciągłą funkcją, która obcięta jeszcze raz do zbioru liczb wymiernych da nam wyjściową.

nie każdą funkcję ciągłą \(f\colon \mathbb Q \to \mathbb R\) można przedłużyć do funkcji \(\tilde f \colon \mathbb R \to \mathbb R\)... ale jeśli się da, to zawsze takim wzorem jaki napisałaś