Matematyka.pl

Witam, potrzebuję pomocy z zweryfikowaniem odpowiedzi. Moje odpowiedzi umieszczam przy zdaniach.
1. Jeśli majoranta zbioru jest jego elementem, to jest równocześnie supremum tego zbioru. PRAWDA
2. Relacja \(\displaystyle{ \le}\) jest gęstym porządkiem w \(\displaystyle{ \ZZ}\). FAŁSZ
3. W niepustym zbiorze skończonym musi istnieć element największy. PRAWDA
4. Nie mogą istnieć dwa różne elementy minimalne zbioru. FAŁSZ
5. Relacja odwrotna do relacji dobrego porządku nie może być relacją liniowego porządku. PRAWDA
6. W niepustym zbiorze skończonym musi istnieć element maksymalnym. PRAWDA

3 i 5 źle, reszta dobrze.

JK

Odnośnie podpunktu 3), to gdyby tylko zbiór uporządkowany, był liniowo uporządkowany, to każdy skończony niepusty podzbiór miałby element najmniejszy i największy (w szczególności dla jednoelementowych podzbiorów ich jedyny element byłby w nich najmniejszy i największy)- a dalej można to łatwo udowodnić indukcyjnie ze względu na ilość elementów skończonego podzbioru. No a jak w zbiorze są elementy nieporównywalne, to oczywiście taki zbiór nie musi mieć elementu największego- każdy właściwy (tzn. co najmniej dwuelementowy) antyłańcuch nie ma elementu największego ani nie ma elementu najmniejszego.
Odnośnie podpunktu 5), to zrobiłeś tutaj poważny błąd- przecież dobry porządek jest porządkiem liniowym, a porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze... Lepiej jest zapytać czy porządek odwrotny do dobrego jest dobry- nie musi być. Albo można jeszcze zapytać: czy porządek odwrotny do gęstego jest gęsty, albo można zapytać czy porządek odwrotny do ciągłego jest ciągły- polecam.