Suma porządkowa przeliczalnie wielu zbiorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Suma porządkowa przeliczalnie wielu zbiorów

Post autor: Jakub Gurak »

Przypomnijmy:

Jak mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( X, \le _{X}\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( Y, \le _{Y}\right) }\) , takie, że pierwszy z nich rozszerza drugi, to porządek rozszerzający \(\displaystyle{ \le _X}\) (wtedy musi on być określony na nadzbiorze \(\displaystyle{ X}\) zbioru \(\displaystyle{ Y}\), na którym jest określony porządek dany) zawężony do dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ Y}\), nazywamy uzupełnieniem porządku \(\displaystyle{ \le _{Y}}\) do porządku \(\displaystyle{ \le _{X} }\), i oznaczamy go jako: \(\displaystyle{ \le _{Y} ^{'}.}\)

Łatwo jest zauważyć, że wtedy:

\(\displaystyle{ \left( \le ^{'} _{Y} \right) '= \le _{Y};}\)

- uzupełnienie uzupełnienia danego porządku jest tym danym porządkiem.

Udowodniłem przedwczoraj, że jak mamy zbiór \(\displaystyle{ X,}\) oraz mamy sumę porządkową przeliczalnie wielu (a właściwie, gdyż nie ma sumy porządkowej nieskończenie wielu zbiorów, jest tylko suma porządkowa dwóch zbiorów, a więc i suma porządkowa skończenie wielu zbiorów; ale gdy rozważymy relację będącą odpowiednikiem sumy porządkowej dwóch zbiorów na przypadek przeliczalnie wielu zbiorów) rozłącznych podzbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X_n \subset X}\); i gdy z każdym zbiorem \(\displaystyle{ X_n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), mamy jeden zbiór \(\displaystyle{ B_n \subset X_n}\), to uzupełnienie sumy porządkowej zbiorów \(\displaystyle{ B_n}\) do sumy porządkowej zbiorów \(\displaystyle{ X_n}\) jest równe sumie porządkowej uzupełnień zbiorów \(\displaystyle{ B_n}\) (chodzi tu o uzupełnienia zbiorów \(\displaystyle{ B_n}\) do odpowiednich im zbiorów \(\displaystyle{ X_n}\) ). Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.


Najpierw przypomnijmy:

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ \left( A_n\right) _{n \in \NN}}\) przeliczalną ( równoliczną ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\) ) rodziną zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( A_n, \le _n\right)}\), gdzie zawsze \(\displaystyle{ A_n \subset X}\), i gdzie zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ A_m}\) są rozłączne, dla \(\displaystyle{ n \neq m}\), to na sumie tych zbiorów \(\displaystyle{ S:= \bigcup_{n \in \NN} A_n,}\) relacja, dana jako:

\(\displaystyle{ x \le _S y \Longleftrightarrow \left( x,y \in A_n, \hbox{ dla pewnego } n \in \NN, \hbox { i } x \le _{n}y \right) \hbox { lub } \\ \left( x \in A_n, y \in A_m \hbox{ dla pewnych liczb naturalnych } n \hbox{ i } m\hbox{ takich, że: } n<m\right),}\)

jest to relacja będąca odpowiednikiem sumy porządkowej dwóch zbiorów na przypadek przeliczalnie wielu zbiorów.

No bo na elementach zbioru \(\displaystyle{ A_0}\) porządek \(\displaystyle{ \le _S}\) jest zgodny z porządkiem \(\displaystyle{ \le _0}\) na zbiorze \(\displaystyle{ A_0}\), następnie każdy element zbioru \(\displaystyle{ A_0}\) jest mniejszy od każdego elementu dalszych zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3, \ldots}\); na elementach zbioru \(\displaystyle{ A_1}\) porządek \(\displaystyle{ \le _S }\) jest zgodny z porządkiem \(\displaystyle{ \le _1,}\) i każdy element zbioru \(\displaystyle{ A_1}\) jest mniejszy od każdego elementu dalszych zbiorów \(\displaystyle{ A_2, A_3, \ldots}\); mając ustawione \(\displaystyle{ n}\) zbiorów jeden za drugim \(\displaystyle{ A_0, A_1, \ldots, A_ {n-1}}\), wtedy każdy element zbioru \(\displaystyle{ A_n}\) jest większy od każdego elementu wcześniejszych zbiorów \(\displaystyle{ A_0, A_1, \ldots, A _{n-1}}\), na elementach tego zbioru porządek \(\displaystyle{ \le _S}\) jest zgodny z porządkiem \(\displaystyle{ \le _n}\) na tym zbiorze, i każdy element tego zbioru \(\displaystyle{ A_n}\) jest mniejszy od każdego z elementów dalszych zbiorów \(\displaystyle{ A _{n+1}, A _{n+2},\ldots}\). W ten sposób na 'półprostej' układamy (jeden za drugim) takie kolejne 'odcinki' odpowiadające kolejnym zbiorom \(\displaystyle{ A_0, A_1, A_2, \ldots}\) 8-)

jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S}\).

Dowód tego faktu zaraz podam (w trzecim z kolei z podanych linków).

Jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mamy przeliczalną rodzinę rozłącznych podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) dobrze uporządkowanych, to ich suma porządkowa jest dobrym porządkiem na sumie tych podzbiorów.

WIZJA:

Ponieważ dowolny zbiór dobrze uporządkowany (nawet zbiór nieprzeliczalny) dobry porządek na takim zbiorze polega na wymienieniu po jednym elemencie, poczynając od najmniejszego, rosnąco wymieniamy po jednym elemencie aż wymienimy wszystkie elementy, więc popatrzmy na te zbiory dobrze uporządkowane jako na skończone podzbiory zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) liniowo uporządkowane (skończone zbiory liniowo uporządkowane są dobrze uporządkowane), mocno upraszczając zadanie, formalnie rzecz biorąc, ale taką analogię dostrzegłem.

I jeśli ustawimy na osi liczb naturalnych zbiory skończone (jeden za drugim), gdy ustawimy przeliczalnie wiele takich zbiorów, to otrzymamy niewątpliwie zbiór typu zbioru liczb naturalnych- zbiór dobrze uporządkowany. :P

Szkic dowodu tego faktu zaprezentowałem TUTAJ:

Również, jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mamy przeliczalną rodzinę rozłącznych podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) liniowo uporządkowanych podobnych do zbioru liczb wymiernych z naturalnym porządkiem, to ich suma porządkowa jest również typu zbioru liczb wymiernych, co udowodniłem ostatnio TUTAJ :

Sumę porządkową przeliczalnie wielu zbiorów wykorzystałem również w dowodzie, że zbiór liczb rzeczywistych można uporządkować w sposób ciągły na co najmniej continuum sposobów ( i to możemy zbiór liczb rzeczywistych uporządkować w sposób ciągły przez porządki niepodobne do zwykłego, na co najmniej continuum sposobów , bo te półproste mają początek, a więc te zbiory mają elementy najmniejsze, a w zbiorze liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem nie ma liczby najmniejszej, a więc te porządki są niepodobne do zwykłego), oto:

CIEKAWA KONSTRUKCJA:\(\displaystyle{ }\)

Tutaj udowodniłem również ten Lemat o sumie porządkowej przeliczalnie wielu zbiorów.

Przejdźmy do naszego faktu:

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X.}\)
Rozważmy przeliczalną rodzinę \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _{n} \right) _{ n\in\NN }}\) rozłącznych podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) liniowo uporządkowanych. Na sumie tych zbiorów rozważmy omawianą sumę porządkową \(\displaystyle{ \le _S}\). Rozważmy, jeszcze jeden, przeliczalny ciąg mniejszych zbiorów \(\displaystyle{ \left( B_n, \right) _{n \in \NN}}\), gdzie zawsze \(\displaystyle{ B_n \subset X _n}\), uporządkowanych przez \(\displaystyle{ \le _{n} ^{B} := \left( \le _{n }\right) _{|B_n}}\), czyli przez porządek ze zbioru \(\displaystyle{ X_n}\) zawężony do zbioru \(\displaystyle{ B_n}\) (wtedy zbiór \(\displaystyle{ B_n}\), jako podzbiór zbioru liniowo uporządkowanego, jest liniowo uporządkowany) . Wtedy zbiory \(\displaystyle{ B_n}\) będą rozłączne, bo dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), mamy: \(\displaystyle{ B_n \subset X_n}\), a zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) są rozłączne, więc zbiory 'w środku' \(\displaystyle{ B_n}\) też będą rozłączne. Możemy zatem rozważać sumę porządkową zbiorów \(\displaystyle{ B_n}\), którą oznaczymy jako: \(\displaystyle{ \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B_n.}\) Wtedy suma porządkowa \(\displaystyle{ \mathop{\oplus} _{n \in \NN} X_n}\) rozszerza sumę porządkową \(\displaystyle{ \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B_n}\), gdyż:
UZASADNIENIE TEGO FAKTU::    
A zatem suma porządkowa \(\displaystyle{ \mathop{\oplus} _{n \in \NN} X_n}\) rozszerza sumę porządkową \(\displaystyle{ \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B_n}\), możemy zatem rozważać uzupełnienie sumy porządkowej zbiorów \(\displaystyle{ B_n}\) do sumy porządkowej zbiorów \(\displaystyle{ X_n}\). Łatwo jest też zauważyć, że zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _{n}\right) }\) rozszerza zbiór \(\displaystyle{ \left( B_n, \le _{n} ^{B}\right) }\). Możemy zatem rozważać uzupełnienie zbioru \(\displaystyle{ B_n}\) do zbioru \(\displaystyle{ X_n}\), oznaczmy ten zbiór jako \(\displaystyle{ B'_n}\). Takie zbiory \(\displaystyle{ B'_n}\) będą rozłączne, bo \(\displaystyle{ B'_n \subset X_n}\) , a zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) są rozłączne, więc zbiory \(\displaystyle{ B'_n}\) również. Możemy zatem rozważyć sumę porządkową zbiorów \(\displaystyle{ B'_n}\). Wykażemy, że uzupełnienie sumy porządkowej zbiorów \(\displaystyle{ B_n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) do sumy porządkowej zbiorów \(\displaystyle{ X_n}\) jest równe sumie porządkowej uzupełnień \(\displaystyle{ B'_n}\) (do odpowiednich im zbiorów \(\displaystyle{ X_n}\)):

\(\displaystyle{ \left( \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B_n\right) ^{'} _{\mathop{\oplus} \limits_{n \in \NN} X_n }= \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B'_n}\).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Po pierwsze, musimy wykazać, że te dwa liniowe porządki są określone na tym samym zbiorze.

Nim to zrobimy, przypomnijmy, że jeśli mamy rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ Z}\) (zbiór, być może, spoza tej rodziny, jest to po prostu dowolny zbiór), to jeśli zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest rozłączny z każdym zbiorem \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B}}\) tej rodziny, to zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest rozłączny z sumą \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) tej rodziny- jest to prosty fakt.

Przejdźmy do naszego dowodu.

Mamy:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} X_n= \bigcup_{ n \in \NN} \left( B_n \cup \left( X_n \setminus B_n \right) \right)= \left( \bigcup_{n \in \NN} B_n\right) \cup \bigcup_{n \in \NN} \left( X_n \setminus B_n\right) .}\)

Wykażemy, że sumy \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} B_n}\) i \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} \left( X_n \setminus B_n\right) }\) są zbiorami rozłącznymi.

Niech \(\displaystyle{ n \in \NN}\) i rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B_n}\), i niech \(\displaystyle{ m \in \NN,}\) i rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X_m \setminus B_m.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ m=n}\), to zbiór \(\displaystyle{ X_m \setminus B_m= X_n \setminus B_n}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ B_n}\).

Jeśli \(\displaystyle{ m \neq n}\), to zbiory \(\displaystyle{ X_m}\) i \(\displaystyle{ X_n}\) są rozłączne. A zatem zbiory \(\displaystyle{ B_n}\) i \(\displaystyle{ X_m \setminus B_m}\) są również rozłączne, gdyż:

\(\displaystyle{ \underbrace{B_n}_{ \subset X_n} \cap \underbrace{\left( X_m \setminus B_m\right)}_{ \subset X_m} \subset X_n \cap X_m= \emptyset}\),

gdyż zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) i \(\displaystyle{ X_m}\) są rozłączne.

A zatem również \(\displaystyle{ B_n \cap \left( X_m \setminus B_m\right)= \emptyset}\), i zbiory \(\displaystyle{ B_n}\) i \(\displaystyle{ X_m \setminus B_m}\) są rozłączne.

Z dowolności wyboru numeru \(\displaystyle{ m \in \NN}\), otrzymujemy, że zbiór \(\displaystyle{ B_n}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ X_m \setminus B_m}\), dla każdego \(\displaystyle{ m \in \NN}\), więc, na mocy przytoczonego faktu: zbiór \(\displaystyle{ B_n}\) jest rozłączny z sumą \(\displaystyle{ \bigcup_{m \in \NN} \left( X_m \setminus B_m\right).}\)

I, dalej, suma (jeden i ten sam zbiór) \(\displaystyle{ \bigcup_{m \in \NN} \left( X_m \setminus B_m\right)}\) jest rozłączna ze zbiorem \(\displaystyle{ B_n}\), i to dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\), więc również suma \(\displaystyle{ \bigcup_{m \in \NN} \left( X_m \setminus B_m\right)}\) jest rozłączna ze sumą \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} B_n.}\)

Czyli suma \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} B_n}\) jest zbiorem rozłącznym ze sumą \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in\NN} \left( X_n \setminus B_n\right).}\)

Ponieważ:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} X_n= \left( \bigcup_{n \in \NN} B_n\right) \cup \left[ \bigcup_{n \in \NN} \left( X_n \setminus B_n\right) \right] = \left[ \bigcup_{n \in \NN} \left( X_n \setminus B_n\right) \right] \cup \left( \bigcup_{n \in \NN} B_n\right)}\) ,

więc:

\(\displaystyle{ \left( \bigcup_{n \in \NN} X_n \right) \setminus \left( \bigcup_{n \in \NN } B_n \right)= \left[ \bigcup_{n \in \NN} \left( X_n \setminus B_n\right) \cup \left( \bigcup_{n \in \NN} B_n \right)\right] \setminus \bigcup_{n \in \NN} B_n = \bigcup_{n \in \NN} \left( X_n \setminus B_n\right)}\);

gdyż te dwa składniki w kwadratowym nawiasie są zbiorami rozłącznymi.

Wykazaliśmy zatem, że te dwa nasze porządki są określone na tym samym zbiorze.
Pozostaje pokazać, że te dwa porządki są równe.

Jeśli \(\displaystyle{ x\left( \le _{ \left( \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B_n \right)' } \right) y}\), to: \(\displaystyle{ x\left( \le _{\mathop{\oplus} _{n \in \NN} X_n } \right)y}\) i \(\displaystyle{ x,y\not \not\in \bigcup_{n \in \NN} B_n.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), to \(\displaystyle{ x \in X_n, y \in X_m}\), gdzie \(\displaystyle{ n,m \in \NN.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n=m}\), to z definicji sumy porządkowej: \(\displaystyle{ x \le _n y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in X_n}\), a \(\displaystyle{ x,y\not \in \bigcup_{n } B_n}\) , więc \(\displaystyle{ x,y\not \in B_n}\), a stąd \(\displaystyle{ x,y \in X_n \setminus B_n= B'_n}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in X_n}\), \(\displaystyle{ x \le _n y}\) i \(\displaystyle{ x,y\not\in B_n}\), więc \(\displaystyle{ x\left( \le _n ^{B} \right) 'y}\), a \(\displaystyle{ x,y \in B' _{n}}\), a zatem, z definicji sumy porządkowej: \(\displaystyle{ x\left( \le _{ \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B ^{'} _n } \right) y.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n \neq m}\), to \(\displaystyle{ n<m}\) lub \(\displaystyle{ m<n.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n<m}\), to \(\displaystyle{ x\not\in B_n}\) (bo \(\displaystyle{ x\not\in \bigcup_{n} B_n}\)) i \(\displaystyle{ y\not\in B_m}\) (bo \(\displaystyle{ y\not\in \bigcup_{n } B_n}\)).

Wtedy \(\displaystyle{ x \in X_n \setminus B_n= B'_n}\) i \(\displaystyle{ y \in X_m \setminus B_m= B'_m}\), gdzie \(\displaystyle{ n<m}\), a więc \(\displaystyle{ x\left( \le _{ \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B'_n } \right)y.}\)

Przypadek \(\displaystyle{ m<n}\) jest niemożliwy, bo \(\displaystyle{ x\left( \le _{ \mathop{\oplus} _{n \in \NN} X_n } \right)y}\), a \(\displaystyle{ x \in X_n}\) i \(\displaystyle{ y \in X_m}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ x}\) należy do dalszego zbioru niż element
\(\displaystyle{ y}\), więc powinien być większy od \(\displaystyle{ y}\)-sprzeczność.


Jeśli \(\displaystyle{ x\left( \le _{ \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B'_n } \right) y}\), to ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in \bigcup_{n} B'_n=\left( \bigcup_{n} X_n \right) \setminus \left( \bigcup_{n }B_n\right)}\), więc: \(\displaystyle{ x,y\not\in \bigcup_{n} B_n. }\) Ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in \bigcup_{n } X_n}\), więc \(\displaystyle{ x \in X_n, y \in X_m}\) ,gdzie \(\displaystyle{ n,m \in \NN. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ n<m}\), to \(\displaystyle{ x\left( \le _{\mathop{\oplus} _{n \in \NN} X_n } \right) y}\), i \(\displaystyle{ x,y\not\in \bigcup_{n } B_n}\), a więc \(\displaystyle{ x\left[ \le _{ \left( \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B_n\right) ^{'} _{\mathop{\oplus} \limits_{n \in \NN} X_n } } \right] y}\), co należało pokazać.

Jeśli \(\displaystyle{ n \ge m}\), to:

jeśli \(\displaystyle{ n=m}\), to ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in \bigcup_{n} B'_n}\), to \(\displaystyle{ x \in B '_{n_0}, y \in B '_{m_0}}\), gdzie \(\displaystyle{ n_0, m_0 \in \NN.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ B '_{n_0}= X _{n_0} \setminus B _{n_0} \subset X _{n_0},}\) więc \(\displaystyle{ x \in X _{n_0}}\), i podobnie \(\displaystyle{ y \in B' _{m_0} \subset X _{m_0}}\), skąd \(\displaystyle{ y \in X _{m_0}}\). A zatem \(\displaystyle{ x \in X _{n_0} \cap X_n;}\) ponieważ istnieje tylko jeden zbiór \(\displaystyle{ X_k}\) zawierający element \(\displaystyle{ x}\), więc \(\displaystyle{ n_0= n}\). W podobny sposób otrzymujemy: \(\displaystyle{ m_0=m}\), a zatem \(\displaystyle{ n=n_0 =m= m_0}\), czyli \(\displaystyle{ n_0= m_0}\), a zatem \(\displaystyle{ x \in B' _{n_0} = B'_n}\) i \(\displaystyle{ y \in B' _{m_0}=B'_n}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x\left( \le _{\mathop{\oplus} _{n \in \NN} B'_n} \right) y}\), więc \(\displaystyle{ x\left( \le _n ^{B} \right)' y}\), a ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le _n}\) rozszerza porządek\(\displaystyle{ \left( \le _n ^{B} \right) '}\), więc również \(\displaystyle{ x \le _n y}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in X_n}\), \(\displaystyle{ x \le _{n} y}\), więc \(\displaystyle{ x\left( \le _{\mathop{\oplus} _{n \in \NN} X_n} \right) y}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x,y\not\in \bigcup_{n} B_n}\), więc \(\displaystyle{ x\left[ \le _{ \left( \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B_n\right) ^{'} _{\mathop{\oplus} \limits_{n \in \NN} X_n } } \right] y}\), co należało pokazać.

Przypadek \(\displaystyle{ n>m}\) jest niemożliwy, bo wtedy \(\displaystyle{ x \in B'_n, y \in B'_m}\), a \(\displaystyle{ x\left( \le _{\mathop{\oplus} _{n \in \NN} B'_n} \right) y}\), a zatem element \(\displaystyle{ x}\) należący do dalszego zbioru niż zbiór do którego należy element \(\displaystyle{ y}\), więc element \(\displaystyle{ x}\) powinien być większy- sprzeczność, co kończy dowód.

A zatem:

\(\displaystyle{ \left( \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B_n\right) ^{'} _{\mathop{\oplus} \limits_{n \in \NN} X_n }= \mathop{\oplus} _{n \in \NN} B'_n.\square}\).8-)
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Suma porządkowa przeliczalnie wielu zbiorów

Post autor: Jakub Gurak »

Niedawno udowodniłem, że jeśli mamy zbiór oraz mamy przeliczalną (równoliczną ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\)) rodzinę jego rozłącznych podzbiorów liniowo uporządkowanych podobnych do zbioru liczb całkowitych, to suma tych wszystkich zbiorów, wraz z relacją będącą odpowiednikiem sumy porządkowej dwóch zbiorów na przypadek przeliczalnie wielu zbiorów, wtedy, w takim zbiorze liniowo uporządkowanym każdy element ma następnik i poprzednik.
Niedawno udowodniłem taki ogólny Lemat(bo był mi potrzeby do dowodu pewnego ciekawego faktu, taka zwykła 'suma porządkowa' przeliczalnie wielu zbiorów nie była tutaj zbyt interesująca), mówiący, że jeśli mamy zbiór, oraz jeśli mamy przeliczalną rodzinę jego rozłącznych podzbiorów liniowo uporządkowanych, to na sumie tych zbiorów można rozważać 'malejącą sumę porządkową'; tzn. tak jak dla rosnącej sumy porządkowej zamiast liczb naturalnych ustawialiśmy na osi kolejne podzbiory danego zbioru, tak teraz, zamiast liczb całkowitych ujemnych ustawiamy na osi kolejne podzbiory danego zbioru, i otrzymujemy w ten sposób ' malejącą sumę porządkową' tych zbiorów liniowo uporządkowanych- zbiór liniowo uporządkowany.
Wykorzystałem to, i udowodniłem wczoraj, że jeśli mamy zbiór, oraz mamy przeliczalną rodzinę jego rozłącznych podzbiorów liniowo uporządkowanych podobnych do zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem, to na sumie tych zbiorów 'malejąca suma porządkowa' jest to zbiór liniowo uporządkowany w którym każdy element ma poprzednik, i jest to porządek odwrotny do pewnego dobrego porządku. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem.
Rozważmy przeliczalną (równoliczną ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\)) rodzinę jego podzbiorów liniowo uporządkowanych
\(\displaystyle{ \left( X_n, \le _n \right)}\), gdzie zawsze \(\displaystyle{ X_n \subset X}\), podzbiorów rozłącznych, tzn. dla \(\displaystyle{ n \neq m}\) zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) i \(\displaystyle{ X_m}\) są rozłączne; i załóżmy jeszcze, że te podzbiory są podobne do zbioru liczb całkowitych, tzn. \(\displaystyle{ X_n \approx \ZZ}\), dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\).
Wykażemy, że na sumie zbiorów \(\displaystyle{ S:=\bigcup_{n \in \NN} X_n}\) wraz z relacją \(\displaystyle{ \mathop{\oplus}_{n \in \NN} \le _n}\), będącą odpowiednikiem sumy porządkowej dwóch zbiorów, na przypadek przeliczalnie wielu zbiorów, wtedy w zbiorze \(\displaystyle{ S}\) każdy element ma następnik i poprzednik.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Zauważmy najpierw, że w zbiorze \(\displaystyle{ \NN \times \ZZ}\), z porządkiem leksykograficznym naturalnych liniowych porządków, wtedy w \(\displaystyle{ \NN \times \ZZ}\) każdy element \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) ma następnik \(\displaystyle{ \left( x,y+1\right)}\) i ma poprzednik \(\displaystyle{ \left( x, y-1\right).}\)
Wykażemy, że nasza suma porządkowa: \(\displaystyle{ \left( S= \bigcup_{n \in \NN} X_n, \mathop{\oplus}_{n \in \NN} \le _n \right)}\) jest podobna do zbioru \(\displaystyle{ \left( \NN \times \ZZ, \le _{\hbox{LEKS}} \right).}\)
W tym celu definiujemy funkcję:

\(\displaystyle{ \alpha : S \rightarrow \NN \times \ZZ, }\)

w następujący sposób:

jeśli \(\displaystyle{ x \in S= \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), to \(\displaystyle{ x \in X_n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), a ponieważ zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) są rozłączne, to taki numer \(\displaystyle{ n}\) jest tylko jeden. Wtedy \(\displaystyle{ X_n \approx \ZZ}\), więc istnieje podobieństwo \(\displaystyle{ f_n: X_n \rightarrow \ZZ}\), ustalmy je (stosując, być może, aksjomat wyboru, a dokładniej stosując twierdzenie o funkcji wyboru, aby z niepustego zbioru funkcji podobieństwa wybrać jedną, choć nie wiem czy jest tu to konieczne, ale myślę, że dzięki aksjomatowi wyboru można uzasadnić tu to w sposób poprawny). Wtedy \(\displaystyle{ f_n\left( x\right) \in \ZZ,}\) i elementowi \(\displaystyle{ x \in S}\) przypisujemy parę \(\displaystyle{ \left( n, f_n\left( x\right) \right) \in \NN \times \ZZ}\), i w ten sposób otrzymujemy funkcję:

\(\displaystyle{ \alpha :S \rightarrow \NN \times \ZZ.}\)

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobieństwem.

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa. Jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( x_1\right)= \alpha \left( x_2\right)}\), to \(\displaystyle{ \left( n_1, f_{n_1}\left( x_1\right) \right)= \left( n_2, f_{n_2} \left( x_2\right) \right)}\), skąd \(\displaystyle{ n_1=n_2}\), oznaczmy tą wartość jako \(\displaystyle{ n.}\) Wtedy \(\displaystyle{ f_n\left( x_1\right)= f_n\left( x_2\right)}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f_n}\) jest podobieństwem, więc jest różnowartościowa, więc \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), i funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa\(\displaystyle{ .\square}\)

Wykażemy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'. Niech \(\displaystyle{ \left( n,b\right) \in \NN \times \ZZ}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f_n: X_n \rightarrow \ZZ}\) jest podobieństwem, więc jest w szczególności funkcją 'na', więc dla \(\displaystyle{ b \in \ZZ}\), otrzymujemy pewien element \(\displaystyle{ x \in X_n}\), taki, że: \(\displaystyle{ f_n\left( x\right)= b}\). Wtedy: \(\displaystyle{ x \in S= \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), i \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) = \left( n, f _{n}\left( x\right) \right)= \left( n,b\right)}\), a więc para \(\displaystyle{ \left( n,b\right)}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\). Z dowolności wyboru takiej pary, otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.\(\displaystyle{ \square}\)

A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bijekcją. Ponieważ jest to funkcja pomiędzy dwoma zbiorami liniowo uporządkowanymi, więc pozostaje pokazać, że jest to funkcja monotoniczna.

W tym celu weźmy dwa elementy \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in S= \bigcup_{n} X_n}\), takie, że: \(\displaystyle{ x_1\left( < _{\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN} X_n }\right) x_2.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in X_n}\), dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego. Wtedy \(\displaystyle{ x_1 \le _{n} x_2}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f_n: X_n \rightarrow \ZZ}\) jest podobieństwem, więc z jej monotoniczności otrzymujemy: \(\displaystyle{ f_n\left( x_1\right) \le f_n\left( x_2\right)}\), a zatem, z definicji porządku leksykograficznego:

\(\displaystyle{ \alpha \left( x_1\right)= \left( n, f _{n} \left( x_1\right) \right) \le \left( n, f_n\left( x_2\right) \right) = \alpha \left( x_2\right)}\),

czyli \(\displaystyle{ \alpha \left( x_1\right) \le \alpha \left( x_2\right) }\), co należało pokazać.

Jeśli \(\displaystyle{ x_1 \in X_n, x_2 \in X_m}\), dla \(\displaystyle{ n \neq m}\), to \(\displaystyle{ n<m}\) lub \(\displaystyle{ m<n}\).

Jeśli \(\displaystyle{ n<m}\), to z definicji porządku leksykograficznego:

\(\displaystyle{ \alpha \left( x_1\right)= \left( n, f_n\left( x_1\right) \right)< \left( m, f_m\left( x_2\right) \right)= \alpha \left( x_2\right). }\)

Przypadek \(\displaystyle{ m<n}\) jest niemożliwy, bo \(\displaystyle{ x_2 \in X_m, x_1 \in X_n}\), a więc, z definicji 'sumy porządkowej' przeliczalnie wielu zbiorów możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ x_2\left( < _{\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN} X_n}\right) x_1}\), a mamy z założenia nierówność w drugą stronę-sprzeczność. Wobec czego ten przypadek nigdy nie zajdzie, i funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest monotoniczna.

A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobieństwem, i:
\(\displaystyle{ \left( S, \mathop{\oplus}_{n \in \NN} \le _n \right) \approx \left( \NN \times \ZZ, \le _{LEKS} \right).}\)

Wykażemy teraz, że w zbiorze \(\displaystyle{ S= \bigcup_{n \in \NN} X_n}\) każdy element ma następnik.
Niech: \(\displaystyle{ x \in S}\). Wtedy \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) \in \NN \times \ZZ}\), a zatem oznaczmy \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) = \left( n,a\right)}\). Wtedy para \(\displaystyle{ \left( n,a+1\right)}\) jest następnikiem pary \(\displaystyle{ \left( n,a\right)}\). Mamy \(\displaystyle{ \left( n,a+1\right) \in \NN \times \ZZ}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na', więc istnieje element \(\displaystyle{ y \in S}\), taki, że: \(\displaystyle{ \alpha \left( y\right) = \left( n, a+1\right).}\) Wykażemy, że element \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ x}\).
Ponieważ:

\(\displaystyle{ \alpha \left( x\right)= \left( n,a\right) < \left( n,a+1\right)= \alpha \left( y\right),}\)

a funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobieństwem, więc: \(\displaystyle{ x \le y}\). I mamy \(\displaystyle{ x \neq y}\), bo gdyby byłoby \(\displaystyle{ x=y}\), to \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right)= \left( n,a\right) = \alpha \left( y\right) = \left( n,a+1\right)}\), skąd: \(\displaystyle{ a=a+1}\), sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ x \neq y}\), i \(\displaystyle{ x<y.}\)

Aby wykazać, że element \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem \(\displaystyle{ x}\), to niech \(\displaystyle{ z \in S}\), będzie takim elementem, że \(\displaystyle{ z>x}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ z \ge y}\).

Mamy \(\displaystyle{ \alpha \left( z\right)=:\left( m,b\right) \in \NN \times \ZZ}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest monotoniczna, więc: \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) \le \alpha \left( z\right) = \left( m,b\right)}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ z \neq x}\), więc z różnowartościowości podobieństwa \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left( n,a\right) = \alpha \left( x\right) \neq \alpha \left( z\right)= \left( m,b\right) .}\)

A zatem: \(\displaystyle{ \left( n,a\right) < \left( m,b\right)}\), więc ponieważ para \(\displaystyle{ \left( n,a+1\right)}\) jest następnikiem pary \(\displaystyle{ \left( n,a\right)}\), więc:

\(\displaystyle{ \alpha \left( z\right) = \left( m,b\right) \ge \left( n,a+1\right) = \alpha \left( y\right),}\)

i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobieństwem, więc \(\displaystyle{ z \ge y}\), i element \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ x}\). A zatem każdy element \(\displaystyle{ x \in S}\) ma następnik.

Również każdy element ma poprzednik, bo w \(\displaystyle{ \NN \times \ZZ}\) każdy element \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \NN \times \ZZ}\) ma poprzednik \(\displaystyle{ \left( x, y-1\right)}\), a \(\displaystyle{ \NN \times \ZZ \approx S= \bigcup_{n} X_n}\), więc również w zbiorze podobnym \(\displaystyle{ S}\) każdy element ma poprzednik, w podobny sposób możemy to udowodnić.\(\displaystyle{ \square}\)

Nim przejdziemy dalej podajmy pewien wspomniany już Lemat.

Lemat:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem.
Rozważmy przeliczalną rodzinę podzbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _n\right)}\) , gdzie zawsze \(\displaystyle{ X_n \subset X}\), i zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) i \(\displaystyle{ X_m}\) są rozłączne, dla \(\displaystyle{ n \neq m}\). Na sumie tych zbiorów: \(\displaystyle{ S:= \bigcup_{n \in \NN} X_n}\) rozważmy relację: \(\displaystyle{ \le _{\overleftarrow {S}}}\), daną jako:

\(\displaystyle{ x\le _{\overleftarrow {S}} y \Longleftrightarrow \left[ x,y \in X_n, \hbox{ dla pewnego } n \in \NN; \hbox{ i } x \le _{n} y \right] \hbox{ lub } \left[ x \in X_n, y \in X_m, \hbox{ gdzie } n>m\right];}\)

wtedy ta relacja \(\displaystyle{ \le _{\overleftarrow {S}}}\) jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S}\).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze, więc pary \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _{n} ^{-1} \right) }\), dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) tworzą zbiory liniowo uporządkowane. Z tych samych przyczyn (oraz z założenia) zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) i \(\displaystyle{ X_m}\) są rozłączne, dla \(\displaystyle{ n \neq m}\). A zatem zbiór \(\displaystyle{ S= \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), wraz ze 'sumą porządkową' (zwykłą- rosnącą) \(\displaystyle{ \le _{S}:= \mathop{\oplus}_{n \in \NN} \le _{n} ^{-1}}\) tworzy zbiór liniowo uporządkowany. Ponieważ porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze, więc para \(\displaystyle{ \left( S, \le _S ^{-1} \right) }\) tworzy zbiór liniowo uporządkowany.
Pokazujemy, że \(\displaystyle{ \left( \le _{\overleftarrow {S}}\right) =\left( \le _S ^{-1} \right)}\), czyli pokazujemy, że te dwa porządki są sobie równe- nie jest to zbyt trudne, raczej trochę żmudne, więc ten dowód pomijamy, I wtedy, ponieważ relacja \(\displaystyle{ \le _{S} ^{-1}}\) jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S}\), więc również relacja \(\displaystyle{ \le _{\overleftarrow {S}}}\), jako ta sama relacja, w tym samym zbiorze \(\displaystyle{ S}\), jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S.\square}\)


Przejdźmy do naszego drugiego problemu:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem.
Rozważmy przeliczalną rodzinę \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _n\right) _{n \in \NN}}\) podzbiorów \(\displaystyle{ X_n \subset X}\) liniowo uporządkowanych, gdzie zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) i \(\displaystyle{ X_m}\) są rozłączne dla \(\displaystyle{ n \neq m}\). Załóżmy jeszcze, że są to zbiory podobne do zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem, tzn.: \(\displaystyle{ X_n \approx \ZZ_{-} \cup \left\{ 0\right\}}\), dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Wykażemy, że suma tych zbiorów \(\displaystyle{ S:= \bigcup_{n \in \NN} X_n}\) wraz z malejącą sumą porządkową \(\displaystyle{ \mathop{\overleftarrow{\oplus}}_{n \in \ZZ _{-} \cup \left\{ 0\right\} } \le _{n}}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, w którym każdy element ma poprzednik, i jest to porządek odwrotny do pewnego dobrego porządku.

Przypomnijmy, suma porządkowa przeliczalnie wielu rozłącznych podzbiorów danego zbioru podzbiorów dobrze uporządkowanych jest zbiorem dobrze uporządkowanym, w poprzednim poście to objaśniłem. Przejdźmy zatem do dowodu naszego faktu.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Na mocy Lematu powyżej taka malejąca suma porządkowa jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S}\). A zatem porządek do niej odwrotny jest liniowy na zbiorze \(\displaystyle{ S}\) (porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze) .

Definiujemy funkcję:

\(\displaystyle{ \alpha : \left( S; \left( \mathop{\overleftarrow{\oplus}}_{n \in \ZZ _{-} \cup \left\{ 0\right\} } \le _{n}\right) ^{-1} \right) \rightarrow \left( S, \mathop{\oplus}_{n \in \NN} \le _{\NN} \right),}\)

z porządku odwrotnego do tej 'malejącej sumy porządkowej' na zbiorze \(\displaystyle{ S}\) w ten sam zbiór \(\displaystyle{ S}\) wraz ze 'sumą porządkową' (zwykłą, tzn. rosnącą ) przeliczalnie wielu kopii zbioru liczb naturalnych.

Jeśli \(\displaystyle{ x \in S= \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), to \(\displaystyle{ x \in X_n}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in \NN}\); a ponieważ zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) i \(\displaystyle{ X_m}\) są rozłączne, więc taki numer jest tylko jeden. Wtedy \(\displaystyle{ X_n \approx \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) istnieje więc podobieństwo \(\displaystyle{ f_n: X_n \rightarrow \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), ustalmy je (stosując, być może, aksjomat wyboru, a dokładniej twierdzenie o funkcji wyboru, aby z niepustego zbioru funkcji podobieństwa wybrać jedną).

Łatwo jest zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f:\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \rightarrow \left( \NN, \ge \right)}\), dana jako:

\(\displaystyle{ f\left( n\right) =-n,}\)

jest podobieństwem pomiędzy tymi naturalnymi porządkami.

Ponieważ \(\displaystyle{ X_n \approx \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), więc \(\displaystyle{ X_n ^{-1} \approx \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) ^{-1} \approx \left( \NN, \le\right) }\). A zatem \(\displaystyle{ \left( \NN, \ge\right) \approx X_n}\), niech zatem
\(\displaystyle{ g_n}\) będzie podobieństwem między tymi zbiorami.

I definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha}\), jako:

\(\displaystyle{ \alpha \left( x\right)= g_n \left( f\left( \ f_n\left( x\right) \ \right) \right) \in X_n \subset \bigcup_{n \in \NN} X_n=S.}\)

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest monotoniczna.
W tym celu ustalmy dowolne elementy \(\displaystyle{ x,y \in S}\), takie, że: \(\displaystyle{ x\left( < _{\mathop{\overleftarrow{\oplus}}\limits_{n \in \ZZ _{-} \cup \left\{ 0\right\} } \le _{n}} \right) ^{-1} y.}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ y\left( < _{\mathop{\overleftarrow{\oplus}}\limits_{n \in \ZZ _{-} \cup \left\{ 0\right\} } \le _{n}} \right) x}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in S= \bigcup_{n} X_n}\), to \(\displaystyle{ x \in X_n, y \in X_m}\), dla pewnych naturalnych numerów \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\).

Jeśli \(\displaystyle{ m=n}\), to \(\displaystyle{ y \le _n x}\), więc ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f_n:X_n \rightarrow \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) jest podobieństwem, więc z jej monotoniczności otrzymujemy \(\displaystyle{ f_n\left( y\right) \le f_n\left( x\right).}\) Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\), jako podobieństwo, jest monotoniczna, więc \(\displaystyle{ f\left( f_n \left( y\right) \right) \le _{\NN} f\left( f_n \left( x\right) \right)}\), czyli \(\displaystyle{ f\left( f_n \left( x\right) \right) \ge _{\NN} f\left( f_n\left( y\right) \right)}\), i dalej, z monotoniczności podobieństwa \(\displaystyle{ g_n}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) = g_n\left( f\left( \ f_n\left( x\right) \ \right) \right) \le _n g_n\left( f\left( \ f_n \left( y\right) \ \right) \right) = \alpha \left( y\right).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ x,y \in X_n}\), więc \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) , \alpha \left( y\right) \in X_n}\), i \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) \left( \le _{\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN} \le_{\NN} } \right) \alpha \left( y\right)}\), co należało pokazać.

Jeśli \(\displaystyle{ m \neq n}\), to \(\displaystyle{ m<n}\) lub \(\displaystyle{ n<m}\).

Jeśli \(\displaystyle{ m>n}\), to \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) \in X_n, \alpha \left( y\right) \in X_m}\), i \(\displaystyle{ m>n}\), więc z definicji sumy porządkowej:

\(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) \left( \le _{\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN} \le_{\NN} } \right) \alpha \left( y\right).}\)

Przypadek \(\displaystyle{ m<n}\) jest niemożliwy, na mocy definicji 'malejącej sumy porządkowej' i jej antysymetrii.
Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest monotoniczna.

I \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bijekcją, bo można ją przedstawić jako: \(\displaystyle{ \alpha = g_n\circ f\circ f_n}\), gdzie funkcje \(\displaystyle{ g_n}\), \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ f_n}\)- są to bijekcję, więc funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\), jako złożenie bijekcji, jest bijekcją.

A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobieństwem, i zbór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( S; \left( \mathop{\overleftarrow{\oplus}}_{n \in \ZZ_{-} \cup \left\{ 0\right\} } \le _{n}\right) ^{-1} \right)}\) jest podobny do zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( S, \mathop{\oplus}_{n \in \NN} \le _{\NN} \right)}\), gdzie taka suma porządkowa, jako suma porządkowa przeliczalnie wielu zbiorów dobrze uporządkowanych, jest zbiorem dobrze uporządkowanym. Ponieważ własność bycia dobrym porządkiem jest przenoszona przez podobieństwo, i ponieważ mamy prawo relacji porządku \(\displaystyle{ \left( R ^{-1}\right) ^{-1}= R}\), więc zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( S; \mathop{\overleftarrow{\oplus}}_{n \in \ZZ_{-} \cup \left\{ 0\right\} } \le _{n} \right)}\) jest porządkiem odwrotnym do dobrego.
A w porządku odwrotnym do dobrego każdy element, nie będący elementem najmniejszym, ma poprzednik- jest to prosty fakt. Pozostaje zatem wykazać, że w tym zbiorze uporządkowanym nie ma elementu najmniejszego. Gdyby w \(\displaystyle{ \left( S; \mathop{\overleftarrow{\oplus}}_{n \in \ZZ_{-} \cup \left\{ 0\right\} } \le _{n} \right)}\) byłby element najmniejszy \(\displaystyle{ x \in S}\), to \(\displaystyle{ x}\) byłby największy w porządku do niego odwrotnym, a wtedy, w porządku do niego podobnym \(\displaystyle{ \left( S, \mathop{\oplus}_{n \in \NN} \le _{\NN} \right)}\) element \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right)}\) byłby największy. Wtedy \(\displaystyle{ X_n \approx \NN}\), dla każdego \(\displaystyle{ n}\), i wtedy, ten element \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) \in X_n}\), dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego. I wtedy, z definicji sumy porządkowej, każdy element \(\displaystyle{ y \in X _{n+1} \neq \left\{ \right\}}\) byłby większy od elementu \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right)}\)-sprzeczność. Wobec czego w zbiorze \(\displaystyle{ \left( S; \mathop{\overleftarrow{\oplus}}_{n \in \ZZ_{-} \cup \left\{ 0\right\} } \le _{n} \right)}\) nie ma elementu najmniejszego, i każdy element ma poprzednik.\(\displaystyle{ \square}\) 8-) :lol:


Na koniec dodam jeszcze jeden dowodzik.
Wiemy, że podzbiory prostej liczb rzeczywistych symetryczne względem zera są zamknięte na różnicę symetryczną dwóch zbiorów, tzn. różnica symetryczna dwóch podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) symetrycznych wzglądem zera jest zbiorem symetrycznym względem zera.

A może przypomnę definicję:

Podzbiór prostej \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) nazywamy zbiorem symetrycznym względem zera, gdy spełniona jest implikacja:

\(\displaystyle{ x \in A \rightarrow \left( -x\right) \in A;}\)

czyli zbiór jest symetryczny względem zera, gdy z każdym swoim elementem zawiera również liczbę przeciwną do tego elementu.

Zagadka:
Czy jednoelementowy podzbiór prostej liczb rzeczywistych może być zbiorem symetrycznym względem zera :?:

Podpowiedź:
Rozważ \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}.}\)

Można łatwo pokazać, że suma i przekrój dwóch zbiorów symetrycznych względem zera jest zbiorem symetrycznym względem zera.
Można również pokazać, że zbiory symetryczne względem zera są zamknięte na pozostałe działania mnogościowe( te podstawowe, oraz są zamknięte na sumy uogólnione i przekroje uogólnione). W szczególności różnica symetryczna dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) symetrycznych względem zera jest zbiorem symetrycznym względem zera.

Ponieważ różnica symetryczna dwóch zbiorów jest operacją łączną, więc przez prostą indukcję otrzymamy chyba, że jeśli mamy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ X_1, X_2,\ldots, X_n \subset \RR}\) symetrycznych względem zera, to ich różnica symetryczna \(\displaystyle{ X_1\oplus X_2\oplus\ldots\oplus X_n}\) jest zbiorem symetrycznym względem zera.

Udowodniłem to ostatnio również innym sposobem wykorzystując własność różnicy symetrycznej \(\displaystyle{ m}\) zbiorów \(\displaystyle{ B_1, B_2, \ldots, B_m}\)- jest to zbiór tych elementów \(\displaystyle{ x}\) sumy \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_m}\), które należą do dokładnie nieparzystej ilości zbiorów spośród nich.

Np. dla \(\displaystyle{ m=2}\), możliwe ilości zbiorów spośród zbiorów \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ B_2}\) do których dany element może należeć to: \(\displaystyle{ 0,1}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Tylko \(\displaystyle{ 1}\) jest liczbą nieparzystą; i rzeczywiście różnica symetryczna dwóch zbiorów składa się z elementów, które należą do dokładnie jednego spośród tych dwóch zbiorów.

Np. dla \(\displaystyle{ m=3}\), możliwe ilości zbiorów spośród zbiorów \(\displaystyle{ B_1, B_2}\) i \(\displaystyle{ B_3}\) do których dany element może należeć to: \(\displaystyle{ 0 ,1,2}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Tylko \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) są liczbami nieparzystymi; i rzeczywiście różnica symetryczna trzech zbiorów składa się z trzech kawałków, które są kawałkami dokładnie jednego spośród tych trzech zbiorów, oraz składa się z części wspólnej tych trzech zbiorów, czyli jest to zbiór elementów które należą do wszystkich tych trzech zbiorów.

Dla innych \(\displaystyle{ m}\) -trzeba by to udowodnić, ale jest to znane, proste zadanie ze Wstępu do Matematyki.

Przejdźmy do naszego zadania:

Rozważmy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots, X_n \subset \RR}\) symetrycznych względem zera. Wykażemy, że różnica symetryczna \(\displaystyle{ X_1\oplus X_2\oplus \ldots\oplus X_n}\) jest zbiorem symetrycznym względem zera.

W tym celu pokażmy, że jeśli \(\displaystyle{ x \in X_1\oplus X_2\oplus\ldots \oplus X_n}\), to \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in X_1\oplus X_2\oplus\ldots \oplus X_n.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x \in X_1\oplus X_2\oplus\ldots \oplus X_n}\), to \(\displaystyle{ x}\) należy do nieparzystej ilości zbiorów spośród nich, oznaczmy je jako \(\displaystyle{ X _{i_1}, X _{i_2}, \ldots,X _{i _{2k+1} }}\), gdzie \(\displaystyle{ i_1, i_2, \ldots, i _{2k+1} \in \left\{ 1,2,3,\ldots, n\right\}}\), i \(\displaystyle{ i _{1}< i_2<\ldots<i _{2k+1}}\). Wtedy ja stwierdzam, że element \(\displaystyle{ \left( -x\right)}\) należy do tych samych zbiorów, bo są to zbiory symetryczne względem zera, a jeśli \(\displaystyle{ x\not \in X_j}\), gdzie \(\displaystyle{ j=1,2,\ldots, n}\) to \(\displaystyle{ \left( -x\right)\not \in X_j}\), bo gdyby byłoby\(\displaystyle{ \left( -x\right) \in X_j}\), to ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X_j }\) jest również (z założenia) zbiorem symetrycznym względem zera, więc \(\displaystyle{ x=- \left( -x\right) \in X_j}\), czyli \(\displaystyle{ x \in X_j}\)-sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ \left( -x\right) \not \in X_j}\), gdy \(\displaystyle{ x\not \in X_j}\). Otrzymujemy zatem, że element \(\displaystyle{ \left( -x\right)}\) należy do tych samych zbiorów, co element \(\displaystyle{ x}\), których jest nieparzysta ilość, a stąd \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in X_1\oplus X_2\oplus\ldots\oplus X_n}\), i różnica symetryczna \(\displaystyle{ X_1\oplus X_2 \oplus \ldots\oplus X_n}\) jest zbiorem symetrycznym względem zera\(\displaystyle{ .\square}\) :D
ODPOWIEDZ