Suma i iloczyn uogólniony

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Veanty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 25 lis 2022, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Suma i iloczyn uogólniony

Post autor: Veanty »

Jestem w trakcie robienia sum i iloczynów uogólnionych.
Trafiłem na zadanie w którym muszę takową sumę i iloczyn wyznaczyć, dla:
\(\displaystyle{ A_{n} = \left\{ x: 3 -\frac{1}{n} < x < 8 + \frac{1}{n}\right\}, n \in \NN}\)
Wypisałem sobie parę zbiorów i zaznaczyłem sobie na oko na osi liczbowej.
Obliczyłem również do czego zmierza lewa i prawa strona nierówności przy indeksie dążącym do nieskończoności.
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} 3 - \frac{1}{n} = 3}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} 8 + \frac{1}{n} = 8}\)
Czyli iloczynem tych zbiorów będzie \(\displaystyle{ (3,8).}\)
Czy jest to dobry sposób na wyznaczanie iloczynów uogólnionych?
Podobnie wyliczyłem sumę zbiorów, dla indeksów dążących do \(\displaystyle{ 0^{+}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \ 0^{+}} 3 - \frac{1}{n} = - \infty }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \ 0^{+}} 8 + \frac{1}{n} = \infty}\)
Czyli suma tych zbiorów to \(\displaystyle{ \RR}\) ?
Do tej pory łatwo było znaleźć sumę/iloczyn tych zbiorów ale wraz z coraz cięższymi przykładami, ciężko mi dostrzec np. jakie elementy mają wspólne.
Ostatnio zmieniony 3 lut 2023, o 15:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Suma i iloczyn uogólniony

Post autor: a4karo »

Prawie dobrze. Pomyśl co się dzieje z końcami przedziałów.

Czy liczby naturalne mogą dążyć do `0^+` ???
Veanty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 25 lis 2022, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Suma i iloczyn uogólniony

Post autor: Veanty »

Skoro przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, to 1 to najmniejsza liczba naturalna.
czyli
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to 1} 3- \frac{1}{n} = 2 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to 1} 8+ \frac{1}{n} = 9 }\)
Czyli suma tych zbiorów to (2,9)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Suma i iloczyn uogólniony

Post autor: a4karo »

Generalnie zapis `\lim_{n\to1}` wygląda słabo, bo idea granicy jesteś taka, że bada się wartości wyrażenia w pobliżu liczby granicznej. A jakie liczby naturalne są blisko jedynki?
Veanty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 25 lis 2022, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Suma i iloczyn uogólniony

Post autor: Veanty »

a4karo pisze: 3 lut 2023, o 14:29 Generalnie zapis `\lim_{n\to1}` wygląda słabo, bo idea granicy jesteś taka, że bada się wartości wyrażenia w pobliżu liczby granicznej. A jakie liczby naturalne są blisko jedynki?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 1^{+} } }\) ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Suma i iloczyn uogólniony

Post autor: a4karo »

Dalej bez sensu. Po prostu wartość w jedynce
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Suma i iloczyn uogólniony

Post autor: Jan Kraszewski »

Veanty pisze: 3 lut 2023, o 12:24Czyli iloczynem tych zbiorów będzie \(\displaystyle{ (3,8).}\)
Żebyśmy nie zapomnieli: nie.

JK
ODPOWIEDZ