Matematyka.pl

Witam szanownych użytkowników.Jak sprawdzić czy zachodzą następujące równości??.Wezmę taki oto przykład.
\(\displaystyle{ A- \left(B \times C \right)= \left(A-B \right) \times \left(A-C \right)}\)
Googlowałem trochu ale nic nie znalazłem.

Popatrzeć, następnie zauważyć, że raczej nie ma szans, by dla dowolnych zbiorów ta równość była prawdziwa, wreszcie wskazać kontrprzykład, czyli konkretne zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których ta równość nie zachodzi.

A jak zauważyć? Intuicyjnie najprościej, że w zbiorze \(\displaystyle{ B\times C}\) są pary elementów, a w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) same elementy i jakoś to trudno ze sobą porównywać (matematycznie to, co napisałem, nie jest prawdą, ale intuicja ta wystarcza, by nabrać przypuszczeń, że równość nie zawsze zachodzi).

JK

No dobra ale jak na kolosie dostane takie zadanie to mu nie napisze ,że zrobiłem to intuicyjnie tylko muszę jakoś sensownie to udowodnić.

Podanie kontrprzykładu jest najlepszym z możliwych sposobów udowodnienia, że dana równość nie zachodzi.



Pozdrawiam.

Akapit o intuicji był wskazówką, jak można zauważyć, że nie ma równości. Dowodem jest wskazanie kontrprzykładu, o czym napisałem w pierwszym akapicie (a co podkreślił miki).

A kontrprzykładu musisz poszukać sam...

JK

Ja zwykle zaczynam od rysowania w układzie współrzędnych. Zwykle wystarcza do tego by się zorientować, czy jest równość, czy nie (w \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\)).

-- 1 cze 2010, o 13:30 --

Co do podanego przykładu, to z zapisu \(\displaystyle{ A- \left(B \times C \right)}\) wnioskuję, że zbiory \(\displaystyle{ A, B\times C}\) są z tej samej przestrzeni produktowej, czyli \(\displaystyle{ A, B}\) nie są z tej samej przestrzeni. Z kolei zapis \(\displaystyle{ \left(A-B \right) \times ...}\) sugerowałby, że wręcz przeciwnie tzn. są z tej samej przestrzeni.

Rozumiem jednak, że był to jedynie przykład "z czapki" podany po to, by czytelnik zrozumiał o jakiego rodzaju "sprawdzanie" chodzi.

knrt pisze:Rozumiem jednak, że był to jedynie przykład "z czapki" podany po to, by czytelnik zrozumiał o jakiego rodzaju "sprawdzanie" chodzi.

Przykład jest po to, by sprawdzić, czy student umie czytać ze zrozumieniem oraz czy, przeczytawszy ze zrozumieniem, umie podać adekwatny kontrprzykład (co nie jest trudne, ale nie jest też trywialne).

JK

Być może w ogólnym przypadku tak jest. Nie zastanawiałem się głębiej nad celami podawania przykładów.
Myślę jednak, że zrozumiałem o co chodziło autorowi.