Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności, klasy abstrakcji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
konczonosc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 gru 2022, o 01:06
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności, klasy abstrakcji

Post autor: konczonosc »

Cześć, przygotowuję się do kolokwium i mam problem z następującym zadaniem:
Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności. Jeśli nie, uzasadnij dlaczego. Jeśli tak, wyznacz klasy abstrakcji.

\(\displaystyle{ R= \left\{ ((x_1, y_1),(x_2, y_2)):x_1=x_2\right\} \subset \RR^{2} \times \RR^{2}. }\)

Wiem jakie warunki musi spełniać relacja równoważności, jednak w tym przykładzie mam problem ze zrozumieniem samej relacji (zapisu) oraz z wyznaczeniem ewentualnych klas abstrakcji.
Ostatnio zmieniony 2 gru 2022, o 02:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności, klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski »

A gdyby było zapisane w ten sposób

\(\displaystyle{ (x_1, y_1)\,R\,(x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1=x_2}\)

to byłoby Ci łatwiej?

JK
konczonosc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 gru 2022, o 01:06
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności, klasy abstrakcji

Post autor: konczonosc »

Chyba już rozumiem, jednak nie jestem pewna swojej odpowiedzi. Proszę mnie poprawić jeśli błędnie myślę:
relacja ta:
- jest zwrotna
- nie jest symetryczna
- jest przechodnia (czy sprawdzaniu przechodniości będziemy mieć \(\displaystyle{ R = \left\{ (( y_{1}, z_{1}),( y_{2}, z_{2})) : y_{1}=y_{2} \right\} }\)?)

relacja ta nie jest relacją równoważności
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności, klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski »

konczonosc pisze: 2 gru 2022, o 16:07- jest zwrotna
Tak (co wymaga prostego dowodu).
konczonosc pisze: 2 gru 2022, o 16:07- nie jest symetryczna
Nieprawda, jest symetryczna (co wymaga prostego dowodu). Gdyby nie była symetryczna, powinnaś umieć wskazać kontrprzykład. Próbowałaś go znaleźć? W treści zadania wyraźnie wymagano uzasadnienia...
konczonosc pisze: 2 gru 2022, o 16:07- jest przechodnia (czy sprawdzaniu przechodniości będziemy mieć \(\displaystyle{ R = \left\{ (( y_{1}, z_{1}),( y_{2}, z_{2})) : y_{1}=y_{2} \right\} }\)?)
Jest przechodnia (co wymaga prostego dowodu), ale pytania w nawiasie nie rozumiem.
konczonosc pisze: 2 gru 2022, o 16:07relacja ta nie jest relacją równoważności
Jak już się zapewne zorientowałaś, to też nie jest prawda.

JK
konczonosc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 gru 2022, o 01:06
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności, klasy abstrakcji

Post autor: konczonosc »

Czy mogłabym prosić o dowód czemu jest ona symetryczna? jeśli zamienimy x z y miejscami to wydawało mi się, że pierwszy punkt w pierwszym nawiasie musi być równy pierwszemu punktowi w drugim nawiasie, ale zgaduje, że tutaj moje rozumowanie było błędne....
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności, klasy abstrakcji

Post autor: a4karo »

Symetria nie polega na tym, że zamieniasz miejsca w parach, tylko na tym, że zamieniasz pary miejscami
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności, klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski »

konczonosc pisze: 3 gru 2022, o 16:35 Czy mogłabym prosić o dowód czemu jest ona symetryczna?
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (x_1, y_1),(x_2, y_2)\in\RR^2}\) takie, że \(\displaystyle{ (x_1, y_1)\,R\,(x_2, y_2)}\). Wtedy \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), czyli także \(\displaystyle{ x_2=x_1,}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ (x_2, y_2)\,R\,(x_1, y_1)}\). \(\displaystyle{ \Box}\)

JK
konczonosc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 gru 2022, o 01:06
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: Sprawdź czy podana relacja jest relacją równoważności, klasy abstrakcji

Post autor: konczonosc »

Dziękuję bardzo za wytłumaczenie
ODPOWIEDZ