Matematyka.pl

Mamy dany zbiór \(\displaystyle{ X=\left \{ a,b,c \right \}}\), a za zadanie podać przykłady różnych binarnych relacji równoważności z \(\displaystyle{ X \times X}\) takich że:
a) \(\displaystyle{ R\circ S=S \circ R}\)
b) \(\displaystyle{ R\circ S \neq S \circ R}\)
Macie jakieś pomysły?

Def.
Niech \(\displaystyle{ R \subseteq X \times Y}\), \(\displaystyle{ S \subseteq Y \times Z}\). Wtedy relację \(\displaystyle{ U=S\circ R \subseteq X \times Z}\) definiujemy \(\displaystyle{ xUz \Leftrightarrow \left( \exists y \in Y\right) xRy \wedge ySz}\) i nazywamy złożeniem relacji.

Pokombinuj... nie ma tutaj gotowego algorytmu na to zadanie. Jeśli uda ci się znaleźć dwie takie relacje równoważności, to już masz jeden z punktów a-b zrobiony.

Czy dla podpunktu \(\displaystyle{ a)}\) prawdziwa jest para takich relacji?
\(\displaystyle{ R=\left\{(x,y) \in R^{2}: 1|x+y\right\}}\)
\(\displaystyle{ S=\left\{(x,y) \in R^{2}: 2|x+y\right\}}\)
Wydaje się być ok.

No ale te relacje muszą być podzbiorami podanego przez ciebie zbioru, czyli \(\displaystyle{ X^2}\), a nie \(\displaystyle{ \RR^2}\)

a) jest dość trywialne, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ R=S}\) (chyba ze jest zaznaczone, że nie wolno).

JK

To co napisałem wcześniej to totalna głupota.

Niestety te relacje muszą być różne.

Co sądzicie o tym:
\(\displaystyle{ b)}\)
\(\displaystyle{ R=\left\{ \left( a,a\right) ,\left( b,b\right) ,\left( c,c\right) ,\left( a,b\right),\left( b,a\right) \right\}}\)
\(\displaystyle{ S=\left\{ \left( a,a\right) ,\left( b,b\right) ,\left( c,c\right) ,\left( a,c\right),\left( c,a\right) \right\}}\)
bo wtedy złożenia mają 7 takich samych elementów przy czym \(\displaystyle{ R \circ S}\) ma ósmy element \(\displaystyle{ \left( c,b\right)}\), a \(\displaystyle{ S \circ R}\) ma ósmy element \(\displaystyle{ \left( b,c\right)}\).