a \(\displaystyle{ R \subset X \times Y \times Z}\) niech będzie relacją trójczłonową pomiędzy nimi.
Zauważmy, że można rozważać wtedy rzut takiej relacji na płaszczyzny \(\displaystyle{ X \times Y}\),\(\displaystyle{ X \times Z}\) i \(\displaystyle{ Y \times Z}\), które oznaczymy jako: \(\displaystyle{ R _{X,Y}}\); \(\displaystyle{ R _{X,Z}}\) i \(\displaystyle{ R _{Y,Z}}\).
Formalnie:
\(\displaystyle{ R _{X,Y} =\left\{ \left( x,y\right) \in X \times Y\Bigl| \ \ \bigvee\limits_{z \in Z} \left( x,y,z\right) \in R \right\} }\), i
\(\displaystyle{ R _{X,Z} =\left\{ \left( x,z\right) \in X \times Z\Bigl| \ \ \bigvee\limits_{y \in Y} \left( x,y,z\right) \in R \right\} }\); i
\(\displaystyle{ R _{Y,Z} = \left\{ \left( y,z\right) \in Y \times Z\Bigl| \ \ \bigvee\limits_{x \in X} \left( x,y,z\right) \in R \right\}. }\)
Udowodniłem niedawno, że dla dowolnej relacji trójczłonowej \(\displaystyle{ R \subset X \times Y \times Z}\), mamy:
\(\displaystyle{ R \subset \left( R _{X,Y} \right) \times D_3\left( R\right)}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ D_3\left( R\right)}\) oznacza trzecią dziedzinę takiej relacji, czyli rzut tej relacji na oś \(\displaystyle{ Z}\).
Tzn. taką relację można zawrzeć w takim 'tunelu' pionowym o szerokości będącym tym rzutem tej relacji na płaszczyznę \(\displaystyle{ X \times Y}\), i o długości równej długości tego rzutu tej relacji na oś \(\displaystyle{ Z}\).
Udowodniłem wczoraj podobne prawa dla pozostałych dwóch płaszczyzn \(\displaystyle{ X \times Z}\) i \(\displaystyle{ Y \times Z}\) (może nie dosłownie analogiczne, gdyż przy mnożeniu kartezjańskim istotna jest kolejność mnożenia, ale poprawiłem je, w sposób podobny, te dwa fakty), i je udowodniłem.
Udowodniłem też, że dla dwóch relacji trójczłonowych \(\displaystyle{ R,S \subset X \times Y \times Z}\), wtedy rzut sumy tych dwóch relacji na płaszczyznę \(\displaystyle{ X \times Y}\) jest równy sumie rzutów; i, udowodniłem, podobne dwa fakty dla rzutów na płaszczyzny \(\displaystyle{ X \times Z}\) i \(\displaystyle{ Y \times Z}\) ( tak, wiem- formalnie są to dowolne iloczyny kartezjańskie, uprościłem sobie, nazywając je płaszczyzną). Udowodniłem też, taki intuicyjnie oczywisty fakt, że dla \(\displaystyle{ X=Y=Z=\RR}\), wtedy rzut na płaszczyznę \(\displaystyle{ XY}\) przekroju dwóch relacji trójczłonowych w zbiorze liczb rzeczywistych może być innym zbiorem niż przekrój rzutów; i udowodniłem podobne dwa fakty dla rzutów na pozostałe dwie płaszczyzny \(\displaystyle{ XZ}\) oraz \(\displaystyle{ YZ}\). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Rozważmy kostkę \(\displaystyle{ X \times Y \times Z}\), oraz rozważmy dowolną relację \(\displaystyle{ R \subset X \times Y \times Z.}\)
Wykażemy, że:
\(\displaystyle{ R \subset \left( R _{X,Y} \right) \times D_3\left( R\right)}\).
Czyli taką relację można zmieścić w takim 'tunelu' pionowym o szerokości będącej tym rzutem tej relacji na płaszczyznę
\(\displaystyle{ X \times Y}\) i o długości będącej tym rzutem tej relacji na oś \(\displaystyle{ Z}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy najpierw, że:
\(\displaystyle{ \left( \underbrace {R _{X,Y}}_ { \subset X \times Y} \right) \times\underbrace {D_3\left( R\right)}_{ \subset Z} \subset X \times Y \times Z}\),
i \(\displaystyle{ R \subset X \times Y \times Z.}\)
Niech \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in R. }\)
Wtedy \(\displaystyle{ x \in X, y \in Y}\) i \(\displaystyle{ z \in Z}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in X \times Y}\) i \(\displaystyle{ z \in Z}\) i \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in R}\), a zatem, z definicji rzutu na płaszczyznę \(\displaystyle{ X \times Y}\) wnioskujemy, że: \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R _{X,Y}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ z \in Z,}\) więc \(\displaystyle{ z \in D_3\left( R\right)}\), skąd:
\(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) = \left( \left( x,y\right),z \right) \in R _{X,Y} \times D_3\left( R\right)}\),
co kończy dowód.\(\displaystyle{ \square}\)
Nim przejdziemy dalej, rozważmy taką zamianę współrzędnych:
Tzn. rozważmy funkcję:
\(\displaystyle{ g: X \times Y \times Z \rightarrow X \times Z \times Y}\), daną jako:
\(\displaystyle{ g\left( \left( x,y,z\right) \right)= \left( x,z,y\right) \in X \times Z \times Y}\),
czyli współrzędne \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\) zamiany miejscami.
I teraz, wykażemy, że dla dowolnej relacji \(\displaystyle{ R \subset X \times Y \times Z}\) mamy:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{g} \left( R\right) \subset R _{X,Z} \times D_2\left( R\right)}\),
czyli obraz tej relacji, przez funkcję tej zamiany współrzędnych, taki obraz zawiera się w iloczynie kartezjańskim rzutu tej relacji na płaszczyznę \(\displaystyle{ X \times Z}\) i rzutu tej relacji na drugą oś.
DOWÓD TEGO FAKTU::
\(\displaystyle{ f:X \times Y \times Z \rightarrow Y \times Z \times X}\), daną jako:
\(\displaystyle{ f\left( \left( x,y,z\right) \right)= \left( y,z,x\right) \in Y \times Z \times X.}\)
Wykażemy, że dla dowolnej relacji \(\displaystyle{ R \subset X \times Y \times Z}\), mamy:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( R\right) \subset R _{Y,Z} \times D_1\left( R\right).}\)
Dowód tego faktu jest analogiczny do powyższego.
Przejdźmy dalej:
Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) będą zbiorami, a \(\displaystyle{ R,S \subset X \times Y \times Z}\) niech będą relacjami trójczłonowymi pomiędzy nimi.
Wykażemy prawo:
\(\displaystyle{ \left( R \cup S\right) _{X,Y}= \left( R_{X,Y} \right) \cup \left( S _{X,Y} \right);}\)
czyli wykażemy, że rzut, na płaszczyznę \(\displaystyle{ X \times Y}\), sumy tych dwóch relacji, jest równy sumie rzutów.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \left( R \cup S\right) _{X,Y}}\), to, z definicji rzutu relacji na płaszczyznę \(\displaystyle{ X \times Y }\), otrzymujemy, że dla pewnego \(\displaystyle{ z\in Z}\), mamy: \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in R \cup S}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in R}\) lub \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in S}\).
Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in R}\), to ponieważ \(\displaystyle{ z \in Z}\), więc \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R _{X,Y}}\), a więc tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \left( R _{X,Y} \right) \cup \left( S _{X,Y} \right).}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in S}\), to rozumujemy w sposób analogiczny jak powyżej.
Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to:
Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R _{X,Y}}\), to z definicji takiego rzutu na płaszczyznę \(\displaystyle{ X \times Y}\), wnioskujemy, że dla pewnego \(\displaystyle{ z \in Z}\), mamy:\(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in R}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in R \cup S}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in Z}\), a zatem: \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \left( R \cup S\right) _{X,Y}}\).
Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S _{X,Y}}\), wtedy możemy podobnie wnioskować, że dla pewnego elementu \(\displaystyle{ z \in Z,}\) mamy: \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in S}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in R \cup S}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in Z}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \left( R \cup S\right) _{X,Y}.\square}\)
W podobny sposób możemy udowodnić, że dla dwóch relacji \(\displaystyle{ R,S \subset X \times Y \times Z}\), mamy:
\(\displaystyle{ \left( R \cup S\right) _{X,Z} = \left( R _{X,Z} \right) \cup \left( S _{X,Z} \right)}\);
czyli rzut, na płaszczyznę \(\displaystyle{ X \times Z}\), sumy tych dwóch relacji jest równy sumie rzutów.
Dowód tego faktu jest analogiczny do powyższego.
I, podobnie, możemy udowodnić, że dla dwóch relacji \(\displaystyle{ R,S \subset X \times Y \times Z}\), mamy:
\(\displaystyle{ \left( R \cup S\right) _{Y,Z}= \left( R _{Y,Z} \right) \cup \left( S _{Y,Z} \right);}\)
czyli rzut, na płaszczyznę \(\displaystyle{ Y \times Z}\), sumy tych dwóch relacji, jest równy sumie rzutów.
Dowód jest analogiczny do powyższych dwóch dowodów.
Natomiast, dla dwóch relacji trójczłonowych, i to nawet dla relacji w zbiorze liczb rzeczywistych, rzut na płaszczyznę \(\displaystyle{ XY}\), przekroju dwóch relacji, może być innym zbiorem niż przekrój rzutów:
Wystarczy rozważyć:
\(\displaystyle{ R=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right];}\) i
\(\displaystyle{ S= \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \times \left[ 2,3\right]}\).
Wtedy \(\displaystyle{ R \cap S= \left\{ \right\}}\), i \(\displaystyle{ \left( \left\{ \right\} =\emptyset\right) _{X,Y} = \left\{ \right\}}\),
(łatwo można się o tym przekonać rozumując nie wprost), a zatem:
\(\displaystyle{ \left( R \cap S\right) _{X,Y} =\emptyset}\),
podczas gdy:
\(\displaystyle{ R _{X,Y} \cap S _{X,Y}= \left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) \cap \left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right)\stackrel{A \cap A=A}= \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \neq \emptyset= \left( R \cap S\right) _{X,Y}.}\)
Podobnie, dla relacji trójczłonowych w zbiorze liczb rzeczywistych:
\(\displaystyle{ R= \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right]}\), i dla:
\(\displaystyle{ S= \left[ 0,1\right] \times \left[ 2,3\right] \times \left[ 0,1\right]}\);
mamy:
\(\displaystyle{ \left( R \cap S\right) _{X,Z}= \emptyset \neq \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right]= R _{X,Z} \cap S _{X,Z}}\);
czyli rzut, na płaszczyznę \(\displaystyle{ XZ}\), przekroju dwóch relacji może być innym zbiorem niż przekrój rzutów.
I, podobnie, rzut, na płaszczyznę \(\displaystyle{ YZ}\), przekroju dwóch relacji trójczłonowych w zbiorze liczb rzeczywistych, może być innym zbiorem, niż przekrój rzutów; wystarczy wziąć:
\(\displaystyle{ R=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right]}\); i
\(\displaystyle{ S=\left[ 2,3\right] \times \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right];}\)
i wtedy:
\(\displaystyle{ \left( R _{Y,Z} \right) \cap \left( S _{Y,Z} \right) = \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \neq \emptyset= \left( R \cap S\right) _{Y,Z};}\)
czyli rzut, na płaszczyznę \(\displaystyle{ YZ}\), przekroju tych dwóch relacji, jest różny od przekroju rzutów.
