Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
-
- Użytkownik
- Posty: 1414
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
Wiemy, że każda liczba rzeczywista z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right)}\) ma nieskończone rozwinięcie dwójkowe. Nie musi ono być jednoznaczne, bo np. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=0,1000\ldots=0,0111\ldots.}\) Na ważniaku, w nieładny sposób, piszą, że rozwinięcie nie może od pewnego miejsca mieć samych jedynek. I teraz pytanie, czy po odrzuceniu rozwinięć, które od pewnego miejsca mają same jedynki, będziemy mieć już zagwarantowaną jednoznaczność rozwinięcia A jeśli tak, to jak to uzasadnić?
Podobnie, dla rozwinięcia dziesiątkowego, przy podstawie 10, czy po odrzuceniu rozwinięć, które od pewnego miejsca są stale równe \(\displaystyle{ 9}\), będziemy mieć już zagwarantowaną jednoznaczność rozwinięcia
W sumie nie wiem, czy to są zupełne podstawy, czy może mając aksjomatykę liczb rzeczywistych czy można też na to odpowiedzieć, także jeśli to zły dział to przepraszam.
Podobnie, dla rozwinięcia dziesiątkowego, przy podstawie 10, czy po odrzuceniu rozwinięć, które od pewnego miejsca są stale równe \(\displaystyle{ 9}\), będziemy mieć już zagwarantowaną jednoznaczność rozwinięcia
W sumie nie wiem, czy to są zupełne podstawy, czy może mając aksjomatykę liczb rzeczywistych czy można też na to odpowiedzieć, także jeśli to zły dział to przepraszam.
-
- Użytkownik
- Posty: 89
- Rejestracja: 9 kwie 2017, o 16:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Pomógł: 5 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
A czemu "każda ma nieskończone"? - przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{2} = 0,1 }\) czy choćby \(\displaystyle{ \frac{3}{4} = 0,11 }\) mają skończone. Zera są nieznaczące.
-
- Użytkownik
- Posty: 22235
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
Jednoznaczność wynika z faktu, że
$$1/2^{n-1}=1/2^n+1/2^{n+1}+1/2^{n+2}+...$$
Podobną równość pokaż dla systemu dziesiętnego
$$1/2^{n-1}=1/2^n+1/2^{n+1}+1/2^{n+2}+...$$
Podobną równość pokaż dla systemu dziesiętnego
-
- Użytkownik
- Posty: 89
- Rejestracja: 9 kwie 2017, o 16:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Pomógł: 5 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
To raczej uzasadnia tylko fakt, że rozwinięcie nieskończone, w którym powtarza się najwyższa cyfra systemu liczbowego, może być zastąpione rozwinięciem skończonym z najniższą niezerową cyfrą na "starszym" miejscu.
Zrozumiałem, że autorowi wątku chodziło o to, żeby wykazać, iż - odrzuciwszy tę jedną "dualność" istnieje tylko jeden sposób zapisu danej liczby - czyli, że zera i jedynki da się rozmieścić tylko na jeden sposób...
To - jak mi się wydaje - dotyczy jednoznaczności zapisu liczby w dowolnym systemie. Nie tylko dwójkowym i nie tylko po przecinku.
-
- Użytkownik
- Posty: 22235
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
To akutrat wynika prosto z faktu, że liczby dwójkowo wymierne, czyli liczby postaci `k/2^n, k=1,...,2^n-1` leżą gęsto w odcinku `(0,1)`. Jakub Gurak z pewnością potrafi przeprowadzić to proste wnioskowanie.
Można również powołać się ka konstrukcję rozwinięcia dwójkowego (czy dziesiętnego) z której wynika, że jeżeli `x\ne y`, to na którymś kroku liczby te znajdą się w innych przedziałach, co gwarantuje różne rozwinięcia.
Można również powołać się ka konstrukcję rozwinięcia dwójkowego (czy dziesiętnego) z której wynika, że jeżeli `x\ne y`, to na którymś kroku liczby te znajdą się w innych przedziałach, co gwarantuje różne rozwinięcia.
-
- Użytkownik
- Posty: 1414
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
To jest jasne, ale jak ma mi to pomóc to nie wiem, chyba nie tędy droga.
Niech \(\displaystyle{ x \in\left[ 0,1\right) }\). Przypuśćmy, że ma ona dwa różne rozwinięcia \(\displaystyle{ a _{x},b _{x}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ a,b :\NN \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\) , mamy \(\displaystyle{ a \neq b}\), zatem istnieje \(\displaystyle{ n}\) naturalne, takie że \(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right).}\) W takim razie jedna z tych wartości \(\displaystyle{ a\left( n\right), b\left( n\right) }\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\), a druga \(\displaystyle{ 1}\). Ze względu na symetrię przyjmijmy, że \(\displaystyle{ a\left( n\right)=0, b \left( n\right)=1 }\), ponieważ wykluczyliśmy ciągi od pewnego miejsca stale równe \(\displaystyle{ 1}\), więc dla numeru \(\displaystyle{ m>n}\) w ciągu \(\displaystyle{ b}\) pojawi się \(\displaystyle{ 0}\).
Moze inaczej, niech \(\displaystyle{ n}\) będzie najmniejszym numerem dla którego \(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right).}\) Ze względu na symetrię przyjmijmy, że \(\displaystyle{ a \left( n\right)=0 }\), \(\displaystyle{ b\left( n\right)=1.}\) Numer \(\displaystyle{ n}\) jest najmniejszy, gdzie \(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right) , }\) zatem dla każdego numeru \(\displaystyle{ m<n}\) mamy \(\displaystyle{ a\left( m\right)=b\left( m\right). }\) Ponieważ wykluczyliśmy ciągi od pewnego miejsca stale równe \(\displaystyle{ 1}\), więc istnieje numer \(\displaystyle{ m>n}\), taki, że \(\displaystyle{ b\left( m\right)=0}\). Jeśli powyzej numeru \(\displaystyle{ n}\) ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest stale równy \(\displaystyle{ 0}\), to \(\displaystyle{ \lim_n a\left( n\right) < \lim_n b \left( n\right), }\) a więc te granice są różne, a ponieważ są to rozwinięcia tej samej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\), więc obydwie te granice powinny wynosić \(\displaystyle{ x}\)- sprzeczność.
W pozostałym przypadku, istnieje numer \(\displaystyle{ k>n}\), taki, że \(\displaystyle{ a\left( k\right)=1}\). Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie najmniejszą taką liczbą naturalną. I, nie wiem...
Trzeba będzie jakoś rozdzielić te dwa rozwinięcia, i dojść do sprzeczności, że to jest rozwinięcie tej samej liczby \(\displaystyle{ x}\), ale na razie już się poddaje.
-
- Użytkownik
- Posty: 22235
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
Zacząłes dobrze. Potem tak:
\(\displaystyle{ 0=x_b-x_a=\sum_{k=n}^\infty \frac{b(k)-a(k)}{2^k}=\frac{1}{2^n}+\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b(k)-a(k)}{2^k}\blue{\geq }\frac{1}{2^n}+\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b(k)-1}{2^k}\red{\geq }0
}\)
Kiedy zachodzi niebieska nierówność? Kiedy zachodzi czerwona?
\(\displaystyle{ 0=x_b-x_a=\sum_{k=n}^\infty \frac{b(k)-a(k)}{2^k}=\frac{1}{2^n}+\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b(k)-a(k)}{2^k}\blue{\geq }\frac{1}{2^n}+\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b(k)-1}{2^k}\red{\geq }0
}\)
Kiedy zachodzi niebieska nierówność? Kiedy zachodzi czerwona?
-
- Użytkownik
- Posty: 1414
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
No niebieska zachodzi, bo \(\displaystyle{ a\left( k\right) \in \left\{ 0,1\right\}, }\) więc \(\displaystyle{ \frac{b\left( k\right)-a\left( k\right) }{2 ^{k} } \ge \frac{b\left( k\right)-1 }{2 ^{k} } }\), a więc również te sumy szeregów spełniają tą nierówność, dobrze??
A czerwona też zachodzi, ja bym powiedział nawet, że po prostu to wynosi \(\displaystyle{ 0}\), ta suma szeregu wynosi tyle samo co: (bo ciągu \(\displaystyle{ b}\) nie jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\), a więc w nim \(\displaystyle{ 0}\) występują dowolnie daleko), a więc \(\displaystyle{ \frac{-1}{2 ^{n+1} } - \frac{1}{2 ^{n+2} }-\ldots=(-1)\left( \frac{1}{ 2^{n+1} } + \frac{1}{2 ^{n+2} } +\ldots \right)=- \frac{1}{2 ^{n} }, }\) czyli całość jest równe \(\displaystyle{ 0}\).
I co dalej, to akurat jest zgodne, a mamy otrzymać sprzeczność.
A czerwona też zachodzi, ja bym powiedział nawet, że po prostu to wynosi \(\displaystyle{ 0}\), ta suma szeregu wynosi tyle samo co: (bo ciągu \(\displaystyle{ b}\) nie jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\), a więc w nim \(\displaystyle{ 0}\) występują dowolnie daleko), a więc \(\displaystyle{ \frac{-1}{2 ^{n+1} } - \frac{1}{2 ^{n+2} }-\ldots=(-1)\left( \frac{1}{ 2^{n+1} } + \frac{1}{2 ^{n+2} } +\ldots \right)=- \frac{1}{2 ^{n} }, }\) czyli całość jest równe \(\displaystyle{ 0}\).
I co dalej, to akurat jest zgodne, a mamy otrzymać sprzeczność.
-
- Użytkownik
- Posty: 22235
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
Po lewej masz zero, po prawej coś nieujemnego. Żeby to była prawda obie nierówności muszą być rownosciami. Kiedy tak będzie?
-
- Użytkownik
- Posty: 1414
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
Moment, dlaczego po prawej mam coś nieujemnego Jak uzasadniłem ta suma szeregu wynosi \(\displaystyle{ \frac{-1}{2 ^{n} }, }\) a więc jest ujemna. No ale może zawsze ta suma jest większa lub równa \(\displaystyle{ \frac{-1}{2 ^{n} },}\) i pytanie dlaczego tak musi być
Wiem, jak jest równa, to jest większa lub równa, ale dlaczego nie może być mniejsza
Wiem, jak jest równa, to jest większa lub równa, ale dlaczego nie może być mniejsza
-
- Użytkownik
- Posty: 22235
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
Ale na początku stoi `1/2^n`
Dodano po 1 minucie 23 sekundach:
A ostatnie pytanie jest raczej filozoficzne, dlaczego z dwóch różnych liczb jedna nie może być mniejsza
Dodano po 1 minucie 15 sekundach:
Chodzi nie o sprzeczność, tylko o to, żebyś się zastanowił kiedy w tych nierównościach zachodzi równość (bo tylko wtedy ten łańcuch jest prawdziwy)
Dodano po 1 minucie 23 sekundach:
A ostatnie pytanie jest raczej filozoficzne, dlaczego z dwóch różnych liczb jedna nie może być mniejsza
Dodano po 1 minucie 15 sekundach:
Chodzi nie o sprzeczność, tylko o to, żebyś się zastanowił kiedy w tych nierównościach zachodzi równość (bo tylko wtedy ten łańcuch jest prawdziwy)
-
- Użytkownik
- Posty: 1414
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
O tym pamiętam.
Ale chciałem się najpierw przekonać, że rzeczywiście taką nierowność można postawić. Chyba to proste , bo \(\displaystyle{ b\left( k\right) \in \left\{ 0,1\right\} }\):
\(\displaystyle{ \sum_{k=n+1}^{+ \infty } \frac{b\left( k\right)-1 }{2 ^{k} } \ge \sum_{k=n+1}^{+ \infty } \frac{0-1}{2 ^{k} }=\left( -1\right) \left( \frac{1}{2 ^{n+1} } + \frac{1}{2 ^{n+2} }+\ldots \right)=-\frac{1}{2 ^{n} } }\)
Dobrze Z tym wzorem, którego użyłem nie mam dużego doświadczenia. Dobrze
Jeśli tak będzie to całość będzie nieujemna, i chyba wszystko się wyzeruje. Ale proszę najpierw o odpowiedź czy to jest dobrze
-
- Użytkownik
- Posty: 1414
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
A jeszcze jedna rzecz mi nie daję spokoju.
\(\displaystyle{ 0=x-x=\sum_{k\in\NN} \frac{b\left( k\right) }{2 ^{k+1} }-\sum_{k\in\NN} \frac{a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } }\),
skorzystaliśmy, że ciagi a i b są to rozwinięcia tej samej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\), zatem ich sumy również zbiegają do liczby \(\displaystyle{ x.}\), i dalej, to jest równe
\(\displaystyle{ \sum_{k\in\NN}\left( \frac{b\left( k\right) }{2 ^{k+1}}-\frac{a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }\right)=\sum_{k\in\NN} \frac{b\left( k\right) -a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= }\)
I teraz bardzo ważne pytanie: dlaczego Pan pominął \(\displaystyle{ n}\) pierwszych składników szeregu, czy zawsze tak można. Taki zabieg, z drugiej strony wygląda na zupełnie sprzeczny z kolejnym krokiem: rozumiem, że tam podstawiamy \(\displaystyle{ k=n}\), wyliczamy, a potem dodajemy to do sumy od \(\displaystyle{ k= n+1}\)- czyli jednak pojedyńczy składnik wplywa na sumę szeregu. No to może wpływać, czy nie A jeśli wpływa, to dlaczego Pan odrzucił \(\displaystyle{ n}\) pierwszych składników Czegoś tu nie rozumiem.
Ta zaznaczona równość to ... za dużo na raz. Spróbuję to obliczyć krok po kroku:
\(\displaystyle{ 0=x-x=\sum_{k\in\NN} \frac{b\left( k\right) }{2 ^{k+1} }-\sum_{k\in\NN} \frac{a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } }\),
skorzystaliśmy, że ciagi a i b są to rozwinięcia tej samej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\), zatem ich sumy również zbiegają do liczby \(\displaystyle{ x.}\), i dalej, to jest równe
\(\displaystyle{ \sum_{k\in\NN}\left( \frac{b\left( k\right) }{2 ^{k+1}}-\frac{a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }\right)=\sum_{k\in\NN} \frac{b\left( k\right) -a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= }\)
I teraz bardzo ważne pytanie: dlaczego Pan pominął \(\displaystyle{ n}\) pierwszych składników szeregu, czy zawsze tak można. Taki zabieg, z drugiej strony wygląda na zupełnie sprzeczny z kolejnym krokiem: rozumiem, że tam podstawiamy \(\displaystyle{ k=n}\), wyliczamy, a potem dodajemy to do sumy od \(\displaystyle{ k= n+1}\)- czyli jednak pojedyńczy składnik wplywa na sumę szeregu. No to może wpływać, czy nie A jeśli wpływa, to dlaczego Pan odrzucił \(\displaystyle{ n}\) pierwszych składników Czegoś tu nie rozumiem.
I szybko nie odpowiem, bo wcześniej mam problemy, a chcę to dobrze zrozumieć.
-
- Użytkownik
- Posty: 22235
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej
Ile wynosi `b(k) - a(k) ` dla `k<n`?
Dodano po 12 minutach 4 sekundach:
Z pojedynczym skladnikiem coś Ci się musiało pomylić : pojedynczy skladnik nie wpływa na zbieżność szeregu, ale oczywiście na wpływ na jego sumę.
Dodano po 12 minutach 4 sekundach:
Z pojedynczym skladnikiem coś Ci się musiało pomylić : pojedynczy skladnik nie wpływa na zbieżność szeregu, ale oczywiście na wpływ na jego sumę.