Równoliczność zbiorów
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 21 paź 2022, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 21 razy
Równoliczność zbiorów
Dane są zbiory \(\displaystyle{ X, Y, Z}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ ^{Y×Z}X}\) jest równoliczne z \(\displaystyle{ ^{^ZY}X}\).
Wiem, że muszę bijekcję pomiędzy tymi zbiorami znaleźć, ale nie umiem znaleźć jej. Jak podchodzić do tego typu zadań? Większość moich prób polegała przez to, że nie wiem czy te zbiory są równoliczne.
Wiem, że muszę bijekcję pomiędzy tymi zbiorami znaleźć, ale nie umiem znaleźć jej. Jak podchodzić do tego typu zadań? Większość moich prób polegała przez to, że nie wiem czy te zbiory są równoliczne.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równoliczność zbiorów
Twój problem wynika zapewne z dość sporego skomplikowania tego przykładu - musisz wszak zdefiniować funkcję, której dziedziną jest zbiór funkcji, których wartościami są funkcje, a wartościami funkcje (czyli są trzy poziomy "funkcyjności")...
Potrzebujemy zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ \Phi:\left( X^Y\right)^Z\to X^{Y\times Z}}\) (zapisuję zbiory funkcji nieco inaczej, niż Ty, ale myślę, że poradzisz sobie z tym...), która jest bijekcją. Zatem dla każdego \(\displaystyle{ f\in \left( X^Y\right)^Z}\), czyli \(\displaystyle{ f:Z\to X^Y}\) musisz określić, czym jest \(\displaystyle{ \Phi(f)}\), pamiętając o tym, że \(\displaystyle{ \Phi(f)\in X^{Y\times Z}}\), czyli \(\displaystyle{ \Phi(f):Y\times Z\to X}\). No ale żeby określić funkcję \(\displaystyle{ \Phi(f)}\) musisz dla dowolnej pary \(\displaystyle{ (y,z)\in Y\times Z}\) powiedzieć, czym jest \(\displaystyle{ \Phi(f)(z,y)}\) (pamiętając, że \(\displaystyle{ \Phi(f)(z,y)\in X}\)).
Podsumowując, mając \(\displaystyle{ f:Z\to X^Y}\) oraz \(\displaystyle{ (y,z)\in Y\times Z}\) (czyli \(\displaystyle{ y\in Y}\) i \(\displaystyle{ z\in Z}\)) musimy zmajstrować jakoś element zbioru \(\displaystyle{ X}\). No ale to da się zrobić w jedyny sensowny sposób: biorąc najpierw wartość \(\displaystyle{ f(z)}\), o której wiemy, że \(\displaystyle{ f(z)\in X^Y}\), czyli \(\displaystyle{ f(z):Y\to X}\), a potem \(\displaystyle{ (f(z))(y)}\), które jest już elementem zbioru \(\displaystyle{ X}\).
Czyli w wersji skompresowanej \(\displaystyle{ \Phi(f)(y,z)=f(z)(y)}\). Pozostaje pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \Phi}\) jest bijekcją.
JK
Potrzebujemy zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ \Phi:\left( X^Y\right)^Z\to X^{Y\times Z}}\) (zapisuję zbiory funkcji nieco inaczej, niż Ty, ale myślę, że poradzisz sobie z tym...), która jest bijekcją. Zatem dla każdego \(\displaystyle{ f\in \left( X^Y\right)^Z}\), czyli \(\displaystyle{ f:Z\to X^Y}\) musisz określić, czym jest \(\displaystyle{ \Phi(f)}\), pamiętając o tym, że \(\displaystyle{ \Phi(f)\in X^{Y\times Z}}\), czyli \(\displaystyle{ \Phi(f):Y\times Z\to X}\). No ale żeby określić funkcję \(\displaystyle{ \Phi(f)}\) musisz dla dowolnej pary \(\displaystyle{ (y,z)\in Y\times Z}\) powiedzieć, czym jest \(\displaystyle{ \Phi(f)(z,y)}\) (pamiętając, że \(\displaystyle{ \Phi(f)(z,y)\in X}\)).
Podsumowując, mając \(\displaystyle{ f:Z\to X^Y}\) oraz \(\displaystyle{ (y,z)\in Y\times Z}\) (czyli \(\displaystyle{ y\in Y}\) i \(\displaystyle{ z\in Z}\)) musimy zmajstrować jakoś element zbioru \(\displaystyle{ X}\). No ale to da się zrobić w jedyny sensowny sposób: biorąc najpierw wartość \(\displaystyle{ f(z)}\), o której wiemy, że \(\displaystyle{ f(z)\in X^Y}\), czyli \(\displaystyle{ f(z):Y\to X}\), a potem \(\displaystyle{ (f(z))(y)}\), które jest już elementem zbioru \(\displaystyle{ X}\).
Czyli w wersji skompresowanej \(\displaystyle{ \Phi(f)(y,z)=f(z)(y)}\). Pozostaje pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \Phi}\) jest bijekcją.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 21 paź 2022, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 21 razy
Re: Równoliczność zbiorów
Dobra to dwie rzeczy. Mega to rozpisałeś i (wydaje mi się), że rozumiem, ale i tak bym upewniłbym się na innym zadanku czy na pewno. Poza tym mam problem z dowodem surjekcji, ewidentnie nie rozumiem tego pojęcia całkowicie, ale o tym później.
Dane są zbiory \(\displaystyle{ X,Y,Z}\). Tym razem mam udowodnić, że \(\displaystyle{ ^Z(X \times Y)}\) jest równoliczne z \(\displaystyle{ ^ZX \times ^ZY}\). Czyli nasza funkcja \(\displaystyle{ \Phi}\) wybiera funkcję \(\displaystyle{ f:Z \rightarrow X \times Y}\) i przypisuje jej funkcje \(\displaystyle{ \varphi_f :Z \rightarrow X}\) i funkcje \(\displaystyle{ \psi_f :Z \rightarrow Y}\). Niech \(\displaystyle{ \varphi_f}\) i \(\displaystyle{ \psi_f}\) są takie, że \(\displaystyle{ f(z)=(x,y)=(\varphi_f (z),\psi_f (z))}\). Wtedy możemy zapisać \(\displaystyle{ \Phi}\) jako \(\displaystyle{ \Phi (f)=(\varphi_f,\psi_f)}\). Teraz przechodzimy do udowadniania tego, że jest to bijekcja:
1)Hp. \(\displaystyle{ \Phi}\) nie jest injekcją. Bierzemy \(\displaystyle{ f \neq g}\) należące do \(\displaystyle{ ^Z(X \times Y)}\) takie, że \(\displaystyle{ \Phi (f)=\Phi (g) \Leftrightarrow (\varphi_f,\psi_f)=(\varphi_g,\psi_g) \Leftrightarrow \varphi_f=\varphi_g \wedge \psi_f=\psi_g}\). Czyli dla każdego \(\displaystyle{ z \in Z}\) obie funkcje przyjmują takie same wartośći w \(\displaystyle{ X}\) i w \(\displaystyle{ Y}\), wiec \(\displaystyle{ f=g}\), czyli sprzeczność.
2)Teraz ta nieszczęsna surjekcja. W tym wypadku mam udowodnić, że \(\displaystyle{ \Phi[^Z(X \times Y)]=^ZX \times ^ZY}\)? Zakładając, że tak, to i tak nie jestem pewien co do zapisu. Czy to ma jakikolwiek sens?
\(\displaystyle{ \Phi[^Z(X \times Y)]=\varphi_{[^Z(X \times Y)]} \times \psi_{[^Z(X \times Y)]}=^ZX \times ^ZY}\)
I jak w poprzednim zadaniu bym to miał zrobić?
Dane są zbiory \(\displaystyle{ X,Y,Z}\). Tym razem mam udowodnić, że \(\displaystyle{ ^Z(X \times Y)}\) jest równoliczne z \(\displaystyle{ ^ZX \times ^ZY}\). Czyli nasza funkcja \(\displaystyle{ \Phi}\) wybiera funkcję \(\displaystyle{ f:Z \rightarrow X \times Y}\) i przypisuje jej funkcje \(\displaystyle{ \varphi_f :Z \rightarrow X}\) i funkcje \(\displaystyle{ \psi_f :Z \rightarrow Y}\). Niech \(\displaystyle{ \varphi_f}\) i \(\displaystyle{ \psi_f}\) są takie, że \(\displaystyle{ f(z)=(x,y)=(\varphi_f (z),\psi_f (z))}\). Wtedy możemy zapisać \(\displaystyle{ \Phi}\) jako \(\displaystyle{ \Phi (f)=(\varphi_f,\psi_f)}\). Teraz przechodzimy do udowadniania tego, że jest to bijekcja:
1)Hp. \(\displaystyle{ \Phi}\) nie jest injekcją. Bierzemy \(\displaystyle{ f \neq g}\) należące do \(\displaystyle{ ^Z(X \times Y)}\) takie, że \(\displaystyle{ \Phi (f)=\Phi (g) \Leftrightarrow (\varphi_f,\psi_f)=(\varphi_g,\psi_g) \Leftrightarrow \varphi_f=\varphi_g \wedge \psi_f=\psi_g}\). Czyli dla każdego \(\displaystyle{ z \in Z}\) obie funkcje przyjmują takie same wartośći w \(\displaystyle{ X}\) i w \(\displaystyle{ Y}\), wiec \(\displaystyle{ f=g}\), czyli sprzeczność.
2)Teraz ta nieszczęsna surjekcja. W tym wypadku mam udowodnić, że \(\displaystyle{ \Phi[^Z(X \times Y)]=^ZX \times ^ZY}\)? Zakładając, że tak, to i tak nie jestem pewien co do zapisu. Czy to ma jakikolwiek sens?
\(\displaystyle{ \Phi[^Z(X \times Y)]=\varphi_{[^Z(X \times Y)]} \times \psi_{[^Z(X \times Y)]}=^ZX \times ^ZY}\)
I jak w poprzednim zadaniu bym to miał zrobić?
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równoliczność zbiorów
Dobrze. Funkcje \(\displaystyle{ \varphi_f}\) i \(\displaystyle{ \psi_f}\) nazywają się funkcjami składowymi funkcji \(\displaystyle{ f}\), a funkcję \(\displaystyle{ \Phi}\) można zapisać ładnym wzorem: \(\displaystyle{ \Phi(f)=(\pi_X^{\ }\circ f,\pi_Y^{\ }\circ f)}\), gdzie \(\displaystyle{ \pi_X^{\ }, \pi_Y^{\ }}\) to rzuty na odpowiednie osie produktu \(\displaystyle{ X\times Y.}\)emong00 pisze: ↑29 lis 2022, o 22:42Dane są zbiory \(\displaystyle{ X,Y,Z}\). Tym razem mam udowodnić, że \(\displaystyle{ ^Z(X \times Y)}\) jest równoliczne z \(\displaystyle{ ^ZX \times ^ZY}\). Czyli nasza funkcja \(\displaystyle{ \Phi}\) wybiera funkcję \(\displaystyle{ f:Z \rightarrow X \times Y}\) i przypisuje jej funkcje \(\displaystyle{ \varphi_f :Z \rightarrow X}\) i funkcje \(\displaystyle{ \psi_f :Z \rightarrow Y}\). Niech \(\displaystyle{ \varphi_f}\) i \(\displaystyle{ \psi_f}\) są takie, że \(\displaystyle{ f(z)=(x,y)=(\varphi_f (z),\psi_f (z))}\). Wtedy możemy zapisać \(\displaystyle{ \Phi}\) jako \(\displaystyle{ \Phi (f)=(\varphi_f,\psi_f)}\).
Dobrze, tylko po co rozumować nie wprost? Jak wykreślisz czerwone fragmenty, to dostaniesz dowód wprost...emong00 pisze: ↑29 lis 2022, o 22:421) Hp. \(\displaystyle{ \red{\Phi}}\) nie jest injekcją. Bierzemy \(\displaystyle{ f\, \red{\neq}\, g}\) należące do \(\displaystyle{ ^Z(X \times Y)}\) takie, że \(\displaystyle{ \Phi (f)=\Phi (g) \Leftrightarrow (\varphi_f,\psi_f)=(\varphi_g,\psi_g) \Leftrightarrow \varphi_f=\varphi_g \wedge \psi_f=\psi_g}\). Czyli dla każdego \(\displaystyle{ z \in Z}\) obie funkcje przyjmują takie same wartośći w \(\displaystyle{ X}\) i w \(\displaystyle{ Y}\), wiec \(\displaystyle{ f=g}\), czyli sprzeczność.
Tak.
Nie bardzo ma sens (bo czymże są \(\displaystyle{ \varphi}\) i \(\displaystyle{ \psi}\) ?), no i nie ma żadnego uzasadnienia.
Inny sposób zapisu warunku surjektywności to
\(\displaystyle{ (\forall (\alpha,\beta)\in X^Z\times Y^Z)(\exists f\in (X\times Y)^Z)\,\Phi(f)=(\alpha,\beta).}\)
No i teraz postępujesz zgodnie z tym warunkiem. Ustalasz najpierw dowolne \(\displaystyle{ (\alpha,\beta)\in X^Z\times Y^Z}\) i szukasz odpowiedniej funkcji \(\displaystyle{ f\in (X\times Y)^Z}\). Jak nietrudno zauważyć wystarczy wziąć funkcję zadaną wzorem \(\displaystyle{ f(z)=(\alpha(z),\beta(z))}\). Wtedy \(\displaystyle{ \Phi(f)=(\pi_X^{\ }\circ f,\pi_Y^{\ }\circ f)=(\alpha,\beta)}\), bo dla każdego \(\displaystyle{ z\in Z}\) mamy \(\displaystyle{ \pi_X^{\ }\circ f(z)=\pi_X^{\ }(f(z))=\pi_X^{\ }((\alpha(z),\beta(z)))=\alpha(z)}\) oraz \(\displaystyle{ \pi_Y^{\ }\circ f(z)=\pi_Y^{\ }(f(z))=\pi_Y^{\ }((\alpha(z),\beta(z)))=\beta(z).}\)
Podobnie. Masz pokazać, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ \alpha\in X^{Y\times Z}}\) istnieje funkcja \(\displaystyle{ \xi\in\left( X^Y\right) ^Z}\) taka, że \(\displaystyle{ \Phi(\xi)=\alpha}\). Ustalasz zatem dowolną funkcję \(\displaystyle{ \alpha\in X^{Y\times Z}}\) i przystępujesz do poszukiwań odpowiedniej funkcji \(\displaystyle{ \xi:Z\to X^Y}\). Ale to znów jest - jak się chwilę zastanowić (i popatrzeć na to, co ma wyjść) - dość oczywiste. Żeby zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ \xi}\) musimy dla każdego \(\displaystyle{ z\in Z}\) zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ \xi(z):Y\to X}\), czyli - dalej - dla każdego y\in Y musimy zdefiniować \(\displaystyle{ (\xi(z))(y)\green{\in X}}\). No to połóżmy \(\displaystyle{ \blue{(\xi(z))(y)=\alpha(y,z)}}\) (zgadza się, bo \(\displaystyle{ \alpha:Y\times Z\to \green{X}}\)) - oczywiście robimy tak po to, żeby wyszło... Mamy bowiem istotnie dla dowolnych \(\displaystyle{ (y,z)\in Y\times Z}\)
\(\displaystyle{ \Phi(\xi)(y,z)=\blue{\xi(z)(y)=\alpha(y,z)},}\) czyli \(\displaystyle{ \Phi(\xi)=\alpha,}\) tak jak chcieliśmy.
JK
Re: Równoliczność zbiorów
Przepraszam że odkopię ale chciałbym się upewnić, czy powyższy dowód to dowód na bijekcję?Jan Kraszewski pisze: ↑29 lis 2022, o 23:30
Podobnie. Masz pokazać, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ \alpha\in X^{Y\times Z}}\) istnieje funkcja \(\displaystyle{ \xi\in\left( X^Y\right) ^Z}\) taka, że \(\displaystyle{ \Phi(\xi)=\alpha}\). Ustalasz zatem dowolną funkcję \(\displaystyle{ \alpha\in X^{Y\times Z}}\) i przystępujesz do poszukiwań odpowiedniej funkcji \(\displaystyle{ \xi:Z\to X^Y}\). Ale to znów jest - jak się chwilę zastanowić (i popatrzeć na to, co ma wyjść) - dość oczywiste. Żeby zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ \xi}\) musimy dla każdego \(\displaystyle{ z\in Z}\) zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ \xi(z):Y\to X}\), czyli - dalej - dla każdego y\in Y musimy zdefiniować \(\displaystyle{ (\xi(z))(y)\green{\in X}}\). No to połóżmy \(\displaystyle{ \blue{(\xi(z))(y)=\alpha(y,z)}}\) (zgadza się, bo \(\displaystyle{ \alpha:Y\times Z\to \green{X}}\)) - oczywiście robimy tak po to, żeby wyszło... Mamy bowiem istotnie dla dowolnych \(\displaystyle{ (y,z)\in Y\times Z}\)
\(\displaystyle{ \Phi(\xi)(y,z)=\blue{\xi(z)(y)=\alpha(y,z)},}\) czyli \(\displaystyle{ \Phi(\xi)=\alpha,}\) tak jak chcieliśmy.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 21 paź 2022, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 21 razy
Re: Równoliczność zbiorów
Nie rozpisaliśmy chyba dowodu na injekcje do tego przykładu, jest tylko dowód na surjekcje.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równoliczność zbiorów
Zgodnie z tym, co napisał emong00 - oczywiście nie. Pytanie dotyczyło surjektywności, więc także odpowiedź.
Chyba widzisz, że nigdzie nie sprawdzamy różnowartościowości.
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Równoliczność zbiorów
Zbiory \(\displaystyle{ X^{Y \times Z}}\) oraz \(\displaystyle{ (X^Y)^Z}\) można sobie narysować. A dokładniej, narysować można elementy z jakich się składają:
Widać, że można zdefiniować dwa naturalne odwzorowania \(\displaystyle{ \Phi,\Psi}\) które będą zamieniać jedne tabelki na drugie ale tak by struktura tych wewnętrznych funkcji bądź ich cięć pozostała zgodna:
Teraz widać jak zdefiniować \(\displaystyle{ \Phi: (X^Y)^Z \to X^{Y \times Z}}\) albo widać dlaczego JK tak je zdefiniował. Więc dla \(\displaystyle{ f\in (X^Y)^Z}\) aby odtworzyć sytuację z obrazka kładziemy
oraz \(\displaystyle{ \Psi: X^{Y \times Z} \to (X^Y)^Z }\) definiujemy wzorem dla \(\displaystyle{ g\in X^{Y \times Z}}\)
Ostatecznie wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ \Psi\circ \Phi = \mathrm{id}_{(X^Y)^Z}}\) oraz \(\displaystyle{ \Phi\circ \Psi = \mathrm{id}_{X^{Y \times Z}}}\). Policzmy
oznacza to, że \(\displaystyle{ \Phi,\Psi}\) to wzajemnie do siebie odwrotne bijekcje.
Zbiór \(\displaystyle{ X^{Y \times Z}}\) składa się z elementów którymi są funkcje dwóch zmiennych, czyli takie prostokątne tabelki z wartościami \(\displaystyle{ x\in X}\) wewnątrz. Zbiór \(\displaystyle{ (X^Y)^Z}\) to zbiór funkcji których wartości to funkcje.
Widać, że można zdefiniować dwa naturalne odwzorowania \(\displaystyle{ \Phi,\Psi}\) które będą zamieniać jedne tabelki na drugie ale tak by struktura tych wewnętrznych funkcji bądź ich cięć pozostała zgodna:
Teraz widać jak zdefiniować \(\displaystyle{ \Phi: (X^Y)^Z \to X^{Y \times Z}}\) albo widać dlaczego JK tak je zdefiniował. Więc dla \(\displaystyle{ f\in (X^Y)^Z}\) aby odtworzyć sytuację z obrazka kładziemy
\(\displaystyle{ \Phi(f)=\left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto f(z)(y) \in X \right] }\)
oraz \(\displaystyle{ \Psi: X^{Y \times Z} \to (X^Y)^Z }\) definiujemy wzorem dla \(\displaystyle{ g\in X^{Y \times Z}}\)
\(\displaystyle{ \Psi(g)=\left[ \, Z\ni z\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto g(y,z)\in X\right] \right] }\)
Ostatecznie wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ \Psi\circ \Phi = \mathrm{id}_{(X^Y)^Z}}\) oraz \(\displaystyle{ \Phi\circ \Psi = \mathrm{id}_{X^{Y \times Z}}}\). Policzmy
\(\displaystyle{
\begin{split}
(\Psi\circ \Phi)(f)& = \Psi\left(\left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto f(z)(y) \in X \right] \right) \\[1ex]
&= \left[ \, Z\ni z\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto \left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto f(z)(y) \in X \right](y,z)\in X\right] \right] \\[1ex]
&= \left[ \, Z\ni z\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto f(z)(y)\in X\right] \right]\\[1ex]
&=f
\end{split}
}\)
\begin{split}
(\Psi\circ \Phi)(f)& = \Psi\left(\left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto f(z)(y) \in X \right] \right) \\[1ex]
&= \left[ \, Z\ni z\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto \left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto f(z)(y) \in X \right](y,z)\in X\right] \right] \\[1ex]
&= \left[ \, Z\ni z\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto f(z)(y)\in X\right] \right]\\[1ex]
&=f
\end{split}
}\)
\(\displaystyle{
\begin{split}
(\Phi\circ \Psi)(g)& = \Phi\left( \left[ \, Z\ni z\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto g(y,z)\in X\right] \right]\right) \\[1ex]
&=\left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto \left[ \, Z\ni z\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto g(y,z)\in X\right] \right](z)(y) \in X \right] \\[1ex]
&=\left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto g(y,z)\in X\right](y) \in X \right] \\[1ex]
&=\left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto g(y,z) \in X \right]\\[1ex]
&=g
\end{split}
}\)
\begin{split}
(\Phi\circ \Psi)(g)& = \Phi\left( \left[ \, Z\ni z\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto g(y,z)\in X\right] \right]\right) \\[1ex]
&=\left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto \left[ \, Z\ni z\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto g(y,z)\in X\right] \right](z)(y) \in X \right] \\[1ex]
&=\left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto \left[ Y\ni y\mapsto g(y,z)\in X\right](y) \in X \right] \\[1ex]
&=\left[ \, Y \times Z\ni (y,z)\mapsto g(y,z) \in X \right]\\[1ex]
&=g
\end{split}
}\)
oznacza to, że \(\displaystyle{ \Phi,\Psi}\) to wzajemnie do siebie odwrotne bijekcje.