Równoliczność zbiorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
emong00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 21 paź 2022, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 21 razy

Równoliczność zbiorów

Post autor: emong00 »

Prosiłbym o sprawdzenie argumentacji w tym zadanku! Nie jestem pewien czy wszystko ładnie jest wytłumaczone:

Zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ X'}\). Udowodnij, że wtedy równoliczne są \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X')}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{P}(X)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X′)}\) są równoliczne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow }\) istnieje bijekcja \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X′)}\)

Weźmy funkcję \(\displaystyle{ f:\mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X')}\), która zamienia każdy element \(\displaystyle{ A \subset \mathcal{P}(X)}\) poprzez bijekcji \(\displaystyle{ g:X \rightarrow X'}\) (\(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją, bo \(\displaystyle{ X}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ X′}\)) tak, że \(\displaystyle{ A=\{a_i|i \in \mathbb{N}\} \Rightarrow f(A)=\{g(a_i)|i \in \mathbb{N}\} }\).

1)Hp. \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wtedy istnieją dwa różne zbiory \(\displaystyle{ A=\{a_i|i \in \mathbb{N}\}}\) i \(\displaystyle{ B=\{b_i|i \in \mathbb{N}\}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(A)=f(B)}\).
\(\displaystyle{ f(A)=f(B) \Leftrightarrow \forall a_i \in A \exists b_j \in B: g(a_i)=g(b_j) \Leftrightarrow \forall a_i \in A \exists b_j \in B:a_i=b_j}\), bo \(\displaystyle{ g}\) jest injekcją. Tu zachodzi sprzeczność, bo z tego wynika, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) muszą mieć takie same elementy, co z aksjomatu ekstensjonalności oznacza, że \(\displaystyle{ A=B}\) co jest sprzeczne z założeniami. Stąd wynika, że f musi być injekcją.

2)Hp. \(\displaystyle{ f}\) nie jest surjekcją, czyli \(\displaystyle{ f[\mathcal{P}(X)] \neq \mathcal{P}(X′)}\). Stąd \(\displaystyle{ \exists A \subset \mathcal{P}(X):f(A) \not\subset \mathcal{P}(X') \Leftrightarrow \{g(a_i)|i \in \mathbb{N}\}\not\subset \mathcal{P}(X') \Leftrightarrow \exists i \in \mathbb{N}:g(a_i)\not \in X'}\) co jest sprzeczne, bo g jest surjekcją, więc \(\displaystyle{ \forall i \in \mathbb{N}:g(a_i) \in X'}\). Czyli \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.

Skoro \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją i suriekcją to jest bijekcją, czyli \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X′)}\) są równoliczne.
Ostatnio zmieniony 27 lis 2022, o 00:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równoliczność zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski »

emong00 pisze: 27 lis 2022, o 00:16Weźmy funkcję \(\displaystyle{ f:\mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X')}\), która zamienia każdy element \(\displaystyle{ A \subset \mathcal{P}(X)}\) poprzez bijekcji \(\displaystyle{ g:X \rightarrow X'}\) (\(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją, bo \(\displaystyle{ X}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ X′}\)) tak, że \(\displaystyle{ A=\{a_i|i \in \mathbb{N}\} \Rightarrow f(A)=\{g(a_i)|i \in \mathbb{N}\} }\).
Myśl jest dobra, forma fatalna i do tego z błędem - skąd pomysł, że dowolny podzbiór \(\displaystyle{ A}\) nieznanego zbioru \(\displaystyle{ X}\) da się zapisać w postaci \(\displaystyle{ A=\{a_i|i \in \mathbb{N}\}}\) ?!

Powinieneś najpierw ustalić bijekcję \(\displaystyle{ g}\), a dopiero potem przystąpić do definiowania funkcji \(\displaystyle{ f}\). A Twój pomysł polega na tym, że każdemu podzbiorowi \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) przypisujesz jego obraz przez funkcję \(\displaystyle{ g}\), więc \(\displaystyle{ f(A)=g[A].}\)

No i teraz musisz przerobić te dowody na taką ogólniejszą sytuację.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Równoliczność zbiorów

Post autor: Jakub Gurak »

Przedstawię rozwiązanie tego zadania:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest równoliczny ze zbiorem \(\displaystyle{ X',}\) więc istnieje bijekcja \(\displaystyle{ g: X \rightarrow X'}\).
Ustalmy ją, a następnie zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ \alpha : P\left( X\right) \rightarrow P\left( X'\right),}\) jako:

\(\displaystyle{ \alpha \left( A\right)= \stackrel { \rightarrow }{g}\left( A\right) \subset X'; }\)

czyli funkcję, która zbiorowi \(\displaystyle{ A \subset X}\) przypisuje obraz tego zbioru przez bijekcję \(\displaystyle{ g.}\)

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha }\) jest bijekcją.


Wykażemy najpierw, że jest to funkcja " na".
Niech \(\displaystyle{ A \subset X'.}\) Zdefiniujmy zbiór \(\displaystyle{ B= \stackrel { \rightarrow }{g ^{-1} } \left( A\right) \subset X. }\)

Wtedy, ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją, więc:

\(\displaystyle{ \alpha \left( B\right)= \stackrel { \rightarrow }{g}\left( B\right) = \stackrel { \rightarrow }{g} \left( \stackrel { \rightarrow }{g ^{-1} } \left( A\right) \right) = }\)

I ponieważ funkcja g jest bijekcją, więc obraz zbioru znosi się z przeciwobrazem, więc to jest równe zbiorowi \(\displaystyle{ A;}\) czyli:

\(\displaystyle{ \alpha \left( B\right)=A,}\)

a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\).

Z dowolności wyboru takiego zbioru otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha }\) jest funkcją "na".


Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha }\) jest różnowartościowa.

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( A _{1} \right)= \alpha \left( A _{2} \right), }\) to, z definicji tej funkcji \(\displaystyle{ \alpha }\), oznacza to że:

\(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{g}\left( A_1\right)=\stackrel { \rightarrow }{g}\left( A_2\right), }\)

a zatem:

\(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{g ^{-1} }\left( \stackrel { \rightarrow }{g} \left( A _{1} \right) \right)= \stackrel { \rightarrow }{g ^{-1} } \left( \stackrel { \rightarrow }{g} \left( A_2\right) \right),}\)

i ponieważ funkcja g jest bijekcją, więc lewa strona tej równości jest równa zbiorowi \(\displaystyle{ A_1}\), a prawa strona jest równa zbiorowi \(\displaystyle{ A_2.}\)

Wynika stąd, że \(\displaystyle{ A_1= A_2,}\)

i funkcja \(\displaystyle{ \alpha }\) jest różnowartościowa.


A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha }\) jest bijekcją, i \(\displaystyle{ P\left( X\right)\sim P\left( X'\right).\square }\) 8-)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równoliczność zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 27 lis 2022, o 20:40 Przedstawię rozwiązanie tego zadania:
Mogłeś poczekać z tym gotowcem i dać chłopakowi szansę.

JK
ODPOWIEDZ