Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ =^*}\) będzie relacją równoważności w zbiorze \(\displaystyle{ P(P(\NN))}\) określoną następująco: dla dowolnych Rodzin \(\displaystyle{ R, S}\):
\(\displaystyle{ R =^* S}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \bigcup R = \bigcup S }\).
a) jaka jest moc zbioru ilorazowego \(\displaystyle{ P(P(\NN)) _{/=^*} }\)?
b) Jaka jest moc klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \left[ \left\{ \left\{ 0\right\} \right\} \right] _{=^*} }\)?
c) Czy istnieją jednoelementowe klasy abstrakcji?
d) Czy istnieją klasy abstrakcji mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\)?

Dodano po 18 minutach 19 sekundach:
Doszedłem do następujących odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup R }\) jest pewnym podzbiorem liczb naturalnych, a takich podzbiorów jest \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)
b) 4 : \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ 0\right\} \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \emptyset \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \left\{ \emptyset\right\} \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \left\{ \emptyset\right\}, \emptyset \right\} }\)
c) nie, ponieważ dla każdej klasy abstrakcji, do której należy jakiś zbiór A, będą należały też zbiory puste
d) nie, ponieważ wszystkie klasy abstrakcji skończonych zbiorów mają skończoną moc, natomiast nieskończone mają moc co najmniej continnum. np do klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \NN}\) będą należeć wszystkie rodziny, które składają się ze zbioru liczb naturalnych i jakiegoś jego podzbioru, co już daje continuum.

Czy są one poprawne?

Awdsfsaf6 pisze: ↑10 gru 2023, o 23:09 a) \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup R }\) jest pewnym podzbiorem liczb naturalnych, a takich podzbiorów jest \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)

OK, pełne uzasadnienie jest, gdy pokażesz, że każdy podzbiór \(\displaystyle{ \NN}\) da się uzyskac jako suma pewnej rodziny podzbiorów \(\displaystyle{ \NN.}\)

Awdsfsaf6 pisze: ↑10 gru 2023, o 23:09b) 4 : \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ 0\right\} \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \emptyset \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \left\{ \emptyset\right\} \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \left\{ \emptyset\right\}, \emptyset \right\} }\)

Źle, bo ostatnie dwa zbiory nie są elementami \(\displaystyle{ P(P(\NN)).}\)

Awdsfsaf6 pisze: ↑10 gru 2023, o 23:09c) nie, ponieważ dla każdej klasy abstrakcji, do której należy jakiś zbiór A, będą należały też zbiory puste

Źle, jedna jednoelementowa istnieje.

Awdsfsaf6 pisze: ↑10 gru 2023, o 23:09d) nie, ponieważ wszystkie klasy abstrakcji skończonych zbiorów mają skończoną moc, natomiast nieskończone mają moc co najmniej continnum. np do klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \NN}\) będą należeć wszystkie rodziny, które składają się ze zbioru liczb naturalnych i jakiegoś jego podzbioru, co już daje continuum.

To dobra odpowiedź, ale dość nieformalne uzasadnienie.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑11 gru 2023, o 12:18 Źle, bo ostatnie dwa zbiory nie są elementami \(\displaystyle{ P(P(\NN)).}\)

Singleton zbioru pustego nie jest elementem \(\displaystyle{ P(\NN)}\) Dlatego należy tylko pierwsza i druga klasa abstrakcji, tak?
W takim razie jednoelementową klasą abstrakcji będzie \(\displaystyle{ \left[ \left\{ \emptyset\right\} \right] _{= ^{*} } }\)?

Awdsfsaf6 pisze: ↑11 gru 2023, o 20:08Singleton zbioru pustego nie jest elementem \(\displaystyle{ P(\NN)}\) Dlatego należy tylko pierwsza i druga klasa abstrakcji, tak?

Tak, ale nie "należy tylko pierwsza i druga klasa abstrakcji", tylko do klasy abstrakcji zbioru \(\displaystyle{ \{\{0\}\}}\) należą tylko dwa pierwsze zbiory.

Awdsfsaf6 pisze: ↑11 gru 2023, o 20:08W takim razie jednoelementową klasą abstrakcji będzie \(\displaystyle{ \left[ \left\{ \emptyset\right\} \right] _{= ^{*} } }\)?

Nie, to ja się pomyliłem, jednak nie ma jednoelementowych klas abstrakcji, bo \(\displaystyle{ \left[ \left\{ \emptyset\right\} \right] _{= ^{*} } =\{\{\emptyset\},\emptyset\}. }\)

JK