Wykażemy, że tą relacją jest \(\displaystyle{ R^{-1} \cap R}\). Niewątpliwie \(\displaystyle{ R^{-1} \cap R \subset R}\). Aby wykazać, że \(\displaystyle{ R^{-1} \cap R}\) jest relacją symetryczną należy wykazać, że jest równa swojej relacji odwrotnej, a zatem:
\(\displaystyle{ \left( R^{-1} \cap R\right) ^{-1}= \left( R^{-1}\right) ^{-1} \cap R ^{-1}=R \cap R ^{-1}=R ^{-1} \cap R, }\) więc \(\displaystyle{ R ^{-1} \cap R}\) jest równa swojej relacji odwrotnej, jest więc relacją symetryczną.
Pozostaje pokazać, że jest to największa taka relacja symetryczna. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie relacją w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), relacją symetryczną zawartą w \(\displaystyle{ R}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ S\subset R ^{-1} \cap R}\). Ponieważ \(\displaystyle{ S}\) jest symetryczna, to \(\displaystyle{ S=S ^{-1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ S\subset R}\), więc również \(\displaystyle{ S ^{-1}\subset R^{-1}}\), zatem \(\displaystyle{ S\subset R^{-1}}\), mamy też \(\displaystyle{ S\subset R}\), więc również \(\displaystyle{ S\subset R^{-1} \cap R}\), co należało pokazać. Zatem \(\displaystyle{ R^{-1} \cap R}\) jest największą relacją symetryczną zawartą w \(\displaystyle{ R.\square}\)
Może jeszcze dodam takie proste (ale ciekawe) spostrzeżenie, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ R}\) relacją w nim, to poniższe 4 warunki są równoważne:
(1) \(\displaystyle{ R}\) jest symetryczna,
(2) \(\displaystyle{ R=R^{-1},}\)
(3) \(\displaystyle{ R ^{-1} \subset R,}\)
(4)\(\displaystyle{ R\subset R^{-1}.}\)
Dlaczego tak? Ze wstępu do matematyki wiemy, że warunek (1) jest równoważny (3) (i drugiemu). Teraz jeśli \(\displaystyle{ R\subset R^{-1}}\), to z prawa relacji również \(\displaystyle{ R^{-1} \subset \left( R^{-1}\right)^{-1}= R}\), więc \(\displaystyle{ R^{-1} \subset R}\). Zatem z warunku \(\displaystyle{ 4}\) wynika warunek \(\displaystyle{ 3.}\) Analogicznie uzasadniamy wynikanie \(\displaystyle{ \left( 3\right) \rightarrow (4), }\) zatem \(\displaystyle{ (4) \Leftrightarrow (3)}\), co jest równoważne symetryczności (czyli warunkowi 1, i warunek 2, nawet gdy ktoś tego nie znał, łatwo teraz sprawdzi, że też jest równoważny z pozostałymi, gdyż równość zbiorów to dwie inkluzje, które są tu równoważne).
Zatem: \(\displaystyle{ R}\) jest symetryczna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ \ R}\) jest równa swojej relacji odwrotnej \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ R}\) zawiera swoją relację odwrotną \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ \ R}\) zawiera się w swojej relacji odwrotnej. Myślę, że to ciekawy wynik.
