Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ s}\) będzie taką relacją w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{Q} ^{\mathbb{N}} }\), że \(\displaystyle{ \left\langle f, g\right\rangle \in s}\) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy różnica \(\displaystyle{ f - g}\) jest zbieżna do zera. Pokazać, że \(\displaystyle{ s}\) jest relacją równoważności. Wskazać trzy różne klasy abstrakcji.

Nie za bardzo wiem jak to ugryźć.

A z czym masz problem? Fakt, że jest to relacja równoważności pokazujesz z definicji, korzystając z prostych własności granic (bo \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są ciągami liczb wymiernych)

JK

PS Tak przy okazji - jest to relacja, za pomocą konstruuje się liczby rzeczywiste z liczb wymiernych (konstrukcja Cantora).

Nie mam pojęcia jak zaczynać tego typu zadania

Zaczynasz od zwrotności. Znasz definicję?

JK

oczywiście \(\displaystyle{ s}\) jest zwrotna wtedy, gdy \(\displaystyle{ (\forall f \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}) \langle f,f \rangle \in s}\)
i stąd wynika że \(\displaystyle{ f-f=0 \rightarrow 0}\) ? Dobrze rozumiem?

Zasadniczo dobrze, ale nie "stąd wynika", tylko dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ f \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}}\) mamy \(\displaystyle{ f-f=0 \rightarrow 0}\) i STĄD WYNIKA, że \(\displaystyle{ \langle f,f \rangle \in s}\), czyli relacja jest zwrotna.

Teraz sprawdź symetrię i przechodniość.

jeśli chodzi o symetrię, to dla ustalonych \(\displaystyle{ f,g \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}}\) mamy \(\displaystyle{ f-g=?}\) i co dalej?

Nie. Jeśli chodzi o symetrię, to ustalamy dowolne \(\displaystyle{ f,g \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}}\) takie, że \(\displaystyle{ \left\langle f,g\right\rangle\in s }\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(f(n)-g(n))=0.}\) Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(g(n)-f(n))=-\lim_{n\to\infty}(f(n)-g(n))=0,}\) zatem \(\displaystyle{ \left\langle g,f\right\rangle\in s, }\) czego należało dowieść.

Jan Kraszewski pisze: ↑4 gru 2022, o 19:24 \(\displaystyle{ \left\langle f,g\right\rangle\in s }\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(f(n)-g(n))=0.}\)

Nie za bardzo rozumiem to przejście. Co oznacza \(\displaystyle{ f(n)}\)?

A co to jest \(\displaystyle{ f}\) ?

\(\displaystyle{ f}\) to jest element zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}}\)

A czym jest ten element? Co to za obiekt matematyczny?

JK

Wydaje mi się, że to liczba naturalna, bo mamy zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}}\), lecz mimo to dalej nie rozumiem skąd się wzięła powyższa granica.

No to wyszło, że w ogóle nie rozumiesz oznaczeń, nic zatem dziwnego, że nie potrafisz zrobić zadania.

Zbiór \(\displaystyle{ \QQ^{\NN}}\) to zbiór wszystkich funkcji ze zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb wymiernych (czyli wszystkich ciągów liczb wymiernych). Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją, \(\displaystyle{ f:\NN\to\QQ}\), czyli \(\displaystyle{ f(n)}\) jest wartością tej funkcji (dla argumentu \(\displaystyle{ n}\)), czyli liczbą wymierną.

A granica jest tą, którą masz w definicji relacji.