Relacje - równoważność

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
BartoszDrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 12 wrz 2022, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26
Podziękował: 1 raz

Relacje - równoważność

Post autor: BartoszDrz »

Dzień dobry,
Mam pytanie a propos dowodu równoważności dla relacji R określonej na zbiorze X.
\(\displaystyle{ R\subseteq R^{-1} \Leftrightarrow R=R^{-1} \\}\)
Implikacja od prawej do lewej jest raczej oczywista, natomiast w drugą stronę z założenia mamy:
\(\displaystyle{ (x,y)\in R \Rightarrow (x,y)\in R^{-1} \\}\)
Przy definicji relacji odwrotnej:
\(\displaystyle{ (y,x)\in R^{-1} \Leftrightarrow (x,y)\in R \\ }\)
I nasuwa mi się taki wniosek:
\(\displaystyle{ (\forall x,y \in X) (x = y) \Rightarrow R=R^{-1}}\)
Mógłby ktoś zweryfikować moją logikę oraz sposób w jaki dowód został napisany? Z góry dziękuję.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 31014
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4930 razy

Re: Relacje - równoważność

Post autor: Jan Kraszewski »

BartoszDrz pisze: 22 wrz 2022, o 14:23Implikacja od prawej do lewej jest raczej oczywista, natomiast w drugą stronę z założenia mamy:
\(\displaystyle{ (x,y)\in R \Rightarrow (x,y)\in R^{-1}}\)
Przy definicji relacji odwrotnej:
\(\displaystyle{ (y,x)\in R^{-1} \Leftrightarrow (x,y)\in R \\ }\)
I nasuwa mi się taki wniosek:
\(\displaystyle{ (\forall x,y \in X) (x = y) \Rightarrow R=R^{-1}}\)
Mógłby ktoś zweryfikować moją logikę oraz sposób w jaki dowód został napisany? Z góry dziękuję.
To nie jest dowód, tylko trochę znaczków, którymi próbujesz manipulować (bez specjalnego zrozumienia), Dowód to opis rozumowania, a tu nie ma żadnego rozumowania.

A wniosek jest, niestety, do niczego.

JK
BartoszDrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 12 wrz 2022, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26
Podziękował: 1 raz

Re: Relacje - równoważność

Post autor: BartoszDrz »

Okej, ma Pan rację, to nie tyle dowód co szkic mojego rozumowania. Chodziło mi o to, że z \(\displaystyle{ R \subseteq R^{-1}}\) wiemy, że wszystkie elementy w \(\displaystyle{ R}\) są też elementami \(\displaystyle{ R^{-1}}\), więc biorąc pod uwagę definicję relacji odwrotnej jedyną możliwością jest to, że każda para uporządkowana zarówno w \(\displaystyle{ R}\) jak i \(\displaystyle{ R^{-1}}\) ma te same elementy. Czyli zbiory muszą być równe. Czy takie rozumowanie chociaż idzie w dobrą stronę i wymaga pewnych modyfikacji, czy jest po prostu złe i odpowiedź leży gdzie indziej?

Bartosz
BartoszDrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 12 wrz 2022, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26
Podziękował: 1 raz

Re: Relacje - równoważność

Post autor: BartoszDrz »

A w ten sposób?
Z założenia \(\displaystyle{ R\subseteq R^{-1}\\}\)
Możemy pokazać, że:
\(\displaystyle{ (x,y)\in R \Rightarrow (x,y)\in R^{-1}\\
(y,x)\in R \Rightarrow (y,x)\in R^{-1}\\}\)

Więc weźmy dowolne \(\displaystyle{ (x,y)\in R^{-1} \\}\)
Wtedy \(\displaystyle{ (y,x)\in R \Rightarrow (y,x)\in R^{-1} \Rightarrow (x,y)\in R}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 31014
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4930 razy

Re: Relacje - równoważność

Post autor: Jan Kraszewski »

BartoszDrz pisze: 22 wrz 2022, o 15:17więc biorąc pod uwagę definicję relacji odwrotnej jedyną możliwością jest to, że każda para uporządkowana zarówno w \(\displaystyle{ R}\) jak i \(\displaystyle{ R^{-1}}\) ma te same elementy.
To zdanie niestety zupełnie nie ma sensu (mylisz byty).

Druga próba jest lepsza, ale forma jeszcze nie domaga:
BartoszDrz pisze: 22 wrz 2022, o 17:12 Możemy pokazać, że:
\(\displaystyle{ (x,y)\in R \Rightarrow (x,y)\in R^{-1}\\
(y,x)\in R \Rightarrow (y,x)\in R^{-1}}\)
To jest źle sformułowane - co to znaczy "możemy pokazać"? I jaki to ma związek z dowodem? Jeżeli chcesz zapowiedzieć, że za chwilę coś będziesz dowodził, to piszesz: "Pokażemy, że...".

W tym wypadku należałoby napisać: "Pokażemy, że \(\displaystyle{ R=R^{-1}}\). Ponieważ z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ R \subseteq R^{-1}}\), więc wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ R^{-1} \subseteq R.}\) W tym celu..."

Końcówka jest już prawie dobra,
BartoszDrz pisze: 22 wrz 2022, o 17:12 Więc weźmy dowolne \(\displaystyle{ (x,y)\in R^{-1} \\}\)
Wtedy \(\displaystyle{ (y,x)\in R \Rightarrow (y,x)\in R^{-1} \Rightarrow (x,y)\in R}\)
ale zamiast produkować dużo znaczków: "\(\displaystyle{ (y,x)\in R \Rightarrow (y,x)\in R^{-1} \Rightarrow (x,y)\in R}\)" dużo lepiej jest każde z wynikań opisać słownie, wraz z uzasadnieniem(!):

"Wtedy z definicji relacji odwrotnej wiemy, że \(\displaystyle{ (y,x)\in R}\). Z założenia mamy zatem, że \(\displaystyle{ (y,x)\in R^{-1}}\), czyli \(\displaystyle{ (x,y)\in R}\) (ponownie z definicji relacji odwrotnej), co kończy dowód."

JK
ODPOWIEDZ