Matematyka.pl

Podaj przyklad takiej funkcji \(\displaystyle{ \mu : N \rightarrow N}\) ze dla kazdego \(\displaystyle{ n \in N}\) zbiór \(\displaystyle{ \mu ^{-1} \left( \left\{ n\right\} \right)}\) ma :
a) dokladnie 2 elementy
b) 3 elementy
c) dokladnie k elementow dla kazdego ustalonego k
d)dokladnie n elementow .

To może być np reszta z dzielenia:
a) \(\displaystyle{ \mu (n)=mod(n,2)}\) - reszta z dzielenia przez dwa
b) \(\displaystyle{ \mu (n)=mod(n,3)}\) - reszta z dzielenia przez trzy
c) \(\displaystyle{ \mu (n)=mod(n,k)}\) - reszta z dzielenia przez k

maciejsporysz pisze:To może być np reszta z dzielenia:
a) \(\displaystyle{ \mu (n)=mod(n,2)}\) - reszta z dzielenia przez dwa
b) \(\displaystyle{ \mu (n)=mod(n,3)}\) - reszta z dzielenia przez trzy
c) \(\displaystyle{ \mu (n)=mod(n,k)}\) - reszta z dzielenia przez k

Wszystkie przykłady są błędne - nie chodzi bowiem o moc zbioru wartości, tylko o moc przeciwobrazów.

W pierwszych trzech przykładach dobrą funkcją jest \(\displaystyle{ \mu (n) = \left\lfloor \frac nk \right\rfloor}\) (jeśli zero uznamy za naturalne).

W czwartym natomiast najprostszym przykładem jest ciąg:
\(\displaystyle{ 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,\ldots}\)
który jawnym wzorem można zapisać:
\(\displaystyle{ \mu (n) = \left\lceil \frac{\sqrt{8n+9}-1}{2}\right\rceil}\)