Matematyka.pl

mam wykazać przelliczalność zbioru

\(\displaystyle{ \cos^{-1}(\mathbb{Q})}\)

niestety nie wiem jak, proszę o wskazówki

Może tak. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny zatem:
\(\displaystyle{ Q= \bigcup_{n \in N}^{} \{q_n\}}\)
Niech \(\displaystyle{ f(x)=cosx}\) wtedy:
\(\displaystyle{ cos^{-1}(Q) =f^{-1}(\bigcup_{n \in N}^{} \{q_n\})=\bigcup_{n \in N}^{} f^{-1}( \{q_n\})}\)

To jeszcze za mało.

JK

Domyślam się o co może chodzić. Być może o to, czy przeliczalny tzn. skończony lub równoliczny ze zbiorem \(\displaystyle{ N}\) czy tylko równoliczny. Ale można powiedzieć, że w przedziale \(\displaystyle{ (0, \pi )}\) cosinus jest różnowartościowy a liczb wymiernych jest tam przeliczalnie wiele, tzn równolicznie ze zbiorem \(\displaystyle{ N}\). Czyli mamy, że z jednej strony moc \(\displaystyle{ cos^{-1} (Q)}\) jest mniejsza równa i większa równa od mocy liczb \(\displaystyle{ N}\) zatem jest ich dokładnie przeliczalnie wiele.

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\cos x}\) i niech dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ A_x =f^{-1} (\{x\})}\) wówczas \(\displaystyle{ \overline{\overline{ A_x }} =\aleph_0}\), wówczas \(\displaystyle{ f^{-1} (\mathbb{Q} )= \bigcup_{q\in\mathbb{Q}} A_q}\)