Matematyka.pl

Witam, od jakiegoś czasu próbuje sobie zracjonalizować w głowię, dlaczego niby nie możemy wykonywać przekroju na pustej rodzinie zbiorów? No bo tak: jeżeli chcemy uzyskać przekrój jakiejś rodziny zbiorów, na przykład \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\), wtedy składa się on z tych i tylko tych elementów, które należą do każdego ze zbiorów należących do \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\). Więc skoro bierzemy elementy należące tylko do elementów rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\), wtem ograniczamy się do jakiegoś zbioru, więc nie grozi nam "zbiór wszystkich zbiorów", który (podobno) w takiej sytuacji zachodzi. Tutaj też (pewnie nie słusznie) porównuje to z sumą na rodzinie zbiorów, i definicja jest dość analogiczna z oczywistymi różnicami. Znalazłem też wątek mówiący o tym: https://www.matematyka.pl/339921.htm ,ale nie do końca zrozumiałem zapisu: \(\displaystyle{ \neg (\exists A(A \in \emptyset \wedge x \not\in A) \Rightarrow x \in \bigcap \emptyset}\), bo tak rozumiem tą pierwszą część: nieprawdą jest, że istnieje zbiór \(\displaystyle{ A}\), który należy do zbioru pustego, oraz element \(\displaystyle{ x}\) nie należy do \(\displaystyle{ A}\), więc wtedy ten element \(\displaystyle{ x}\) należy do części wspólnej zbioru pustego.
Jak to, że nie istnieje zbiór który należy do zbioru pustego jest całkiem oczywiste, tak to że z nie przynależności do niego jakiegoś tam elementu wynika że owy element będzie należał do części wspólnej zbioru pustego jest dla mnie zupełnie nie zrozumiałe

Definicja przekroju mówi:

\(\displaystyle{ x\in \bigcap\mathcal{A} \Leftrightarrow (\forall A)(A\in\mathcal{A} \Rightarrow x\in A).}\)

W związku z tym

\(\displaystyle{ x\in \bigcap\emptyset \Leftrightarrow (\forall A)(\red A \in\emptyset\black \Rightarrow x\in A).}\)

Zauważ, że czerwona formuła jest fałszywa niezależnie od \(\displaystyle{ A}\), a implikacja o fałszywym poprzedniku jest zawsze prawdziwa (niezależnie od \(\displaystyle{ x}\)), zatem formuła \(\displaystyle{ (\forall A)(\red A \in\emptyset\black \Rightarrow x\in A)}\) jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ x}\), co oznacza, że każde \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset}\) no i masz "zbiór wszystkich zbiorów".

W aksjomatycznej teorii mnogości nieco inaczej definiuje się przekrój uogólniony (jako podzbiór sumy uogólnionej) i tam nie ma tego problemu.

JK

Jan Kraszewski pisze:Definicja przekroju mówi:

\(\displaystyle{ x\in \bigcap\mathcal{A} \Leftrightarrow (\forall A)(A\in\mathcal{A} \Rightarrow x\in A).}\)
JK

Ok, rozumiem. Zastanawia mnie tylko, czemu w definicji, zamiast koniunkcji(która brzmi dla mnie rozsądnie), jest implikacja \(\displaystyle{ x\in \bigcap\mathcal{A} \Leftrightarrow (\forall A)(A\in\mathcal{A} {\red \Rightarrow} x\in A)}\) ?

Bo to przecież kwantyfikator ogólny ograniczony. Wyrażenie \(\displaystyle{ (\forall A)(A\in\mathcal{A} \Rightarrow x\in A)}\) w skróconej formie to \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{A}) x\in A}\).

Łączenie kwantyfikatora ogólnego z koniunkcją nie ma sensu.

JK

Oh, teraz wszystko oczywiste, trzeba się trochę lepiej doedukować z logiki
Dziękuje bardzo za pomoc!

Jan Kraszewski pisze:W aksjomatycznej teorii mnogości nieco inaczej definiuje się przekrój uogólniony (jako podzbiór sumy uogólnionej) i tam nie ma tego problemu.

Tzn. \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{A}= \left\{ x \in \bigcup \mathbb{A}: \ \ \bigwedge\limits_{A \in \mathbb{A}} x \in A\right\}.}\)Ta definicja jest równoważna z tą używaną w naiwnej teorii mnogości, tzn. prowadzi do tego samego zbioru dla niepustej rodziny zbiorów. Wtedy dowolny element należy do iloczynu tej rodziny, wtedy i tylko wtedy, gdy należy do każdego zbioru tej rodziny. Czyli warunek przynależności do sumy rodziny zbiorów można wtedy opuścić. Dla pustej rodziny zbiorów mamy, \(\displaystyle{ \bigcap \emptyset \subset \bigcup\emptyset=\emptyset,}\) a więc \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset=\emptyset.}\)