Matematyka.pl

Udowodnić, że:
(ii)Przekrój dwóch funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) prowadzących ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) w zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest funkcją z \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ B}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f=g}\)
(iii) Przekrój dwóch funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) zawsze jest funkcją (możliwe, że ten przekrój jest relacją pustą,ale relacje pustą też uznajemy za funkcję)

Czym jest "przekrój dwóch funkcji"?

Funkcje to zbiory par, więc przekrój dwóch funkcji to część wspólna odpowiednich zbiorów.

JK

emong00 pisze: ↑12 lis 2022, o 00:21 Udowodnić, że:
(ii)Przekrój dwóch funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) prowadzących ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) w zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest funkcją z \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ B}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f=g}\)

Niech \(\displaystyle{ f,g:A \rightarrow B.}\)

Na mocy faktów udowodnionych TUTAJ,W PIERWSZYM I DRUGIM POŚCIE, mamy:

\(\displaystyle{ \hbox{ Zbiór }\left( f \cap g \right)\hbox{ jest funkcją z } A\hbox{ do } B \Longleftrightarrow \hbox{ zbiór }\left( f \cap g\right)\hbox{ jest funkcją z }A \cap A= A \hbox{ w }B \cap B=B \Longleftrightarrow \bigwedge\limits_{x\in A} \left[ f(x)= g(x)\right] \stackrel{f, g:A \rightarrow B} { \Longleftrightarrow } f=g. \square}\)

emong00 pisze: ↑12 lis 2022, o 00:21 Udowodnić, że:
(iii) Przekrój dwóch funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) zawsze jest funkcją

Wystarczy skorzystać z faktu, że każdy podzbiór funkcji częściowej z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\) jest funkcją częściową z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\) (jak nie znasz tego faktu, to sobie go najpierw udowodnij- jest to prosty fakt). Ponieważ \(\displaystyle{ f \cap g \subset f}\), a \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją częściową, więc również zbiór \(\displaystyle{ \left( f \cap g\right)}\) jest funkcją częściową.\(\displaystyle{ \square}\)

Jak wspomniałem, można o tym przeczytać w podanym linku, jak mamy cztery zbiory, (a po to bierzemy cztery zbiory, aby mieć dwie funkcję- i jak mamy dwie funkcje, tzn. mamy pierwszą funkcję z pierwszego zbioru w drugi zbiór, i mamy drugą funkcję z trzeciego zbioru w czwarty), i jeśli tylko w przekroju dziedzin tych funkcji funkcję te się pokrywają, to przekrój tych funkcji jest funkcją z przekroju dziedzin w przekrój przeciwdziedzin- OTO ILUSTRACJA TEGO CIEKAWEGO FAKTU:

\(\displaystyle{ \\}\)